学科教学知识（PCK）对师范生教育的启示——以小学数学专业为例

许燕频（福建幼儿师范高等专科学校 人文科学系，福建 福州350007）

学科教学知识（PCK）对师范生教育的启示
——以小学数学专业为例

许燕频
（福建幼儿师范高等专科学校 人文科学系，福建 福州350007）

摘要：学科教学知识（PCK）是教师个人教学经验、学科内容知识和教育学的特殊整合．小学数学教师的学科教学知识（PCK）是由数学学科知识、数学课程知识、学生理解数学的知识以及数学教学策略知识重组、整合而成的．在师范生教育中应通过提升师范生对数学学科知识的理解水平、拓展师范生对小学生数学理解的认识、发展师范生对数学理解的多元表征能力、建立丰富的PCK资源库、加强实践教学等，帮助师范生建构学科教学知识（PCK）．

关键词：学科教学知识；数学；师范生；教育

师范生的培养和专业发展是当前国际教师教育的热点问题，同时也是国内高师教育面临的严峻问题，为使师范生具备适应新形势下优秀教师的基本素质和潜力，许多师范院校在课程设置上进行了相应的改革，在注重对师范生实践能力培养的同时，也关注了教师教育类课程与专业知识类课程之间的平衡．但师范生的诸多表现表明，虽然他们掌握了大量的学科专业知识以及教育教学理论，并具备了教师的一般教学技能，在上课时却常常讲不到“点子”上．为什么经过学科专业类课程和教师教育类课程学习的师范生依然无法驾驭看似简单的小学数学内容？在师范生教育中，怎样才能使师范生能拓展和连接专业类课程知识和教师教育类课程知识以创造“新”的知识去更好地驾驭小学数学课堂？

1　学科教学知识的内涵

学科教学知识（pedagogical content knowledge，简称PCK）是美国舒尔曼教授在1986年提出，将其定义为“教师个人教学经验、学科内容知识和教育学的特殊整合”．他认为：教师除了应具备学科内容知识和一般教学法知识外，还必须具备另一种能将学科知识“转化”为学生有效获得的学科教学智能［1］，也就是所谓的学科教学知识（PCK）．

美国学者P.L格罗斯曼以舒尔曼的研究为基础，将学科教学知识（PCK）的内涵分成了四个部分［2］.

（1）学科的知识：指学科中最核心、最基本的知识；学科的思想、方法、精神和态度等．

（2）课程的知识：作为课程的某一知识在整个学科体系中的地位和作用以及与之相联系的知识之间的联系、与儿童生活、经验的联系等．

（3）学生的知识：包括了解学生的认知基础、认识方式及差异；知道哪些知识学生容易理解；哪些问题容易混淆；如何辨析和纠正学生常见的错误．

（4）教学的知识：指为了达到教学目标的要求，根据学生的心理发展水平而采取合适表征内容的教学手段和策略的知识．

以上四个部分内容不是互相独立，而是互相嵌套、融为一体的，学科教学知识（PCK）是在它们基础上进行重组、整合而成的一种新的知识，具有实践性、个体性、情境性等特点．

2　小学数学教师的学科教学知识（PCK）结构

根据P.L格罗斯曼对学科教学知识（PCK）内涵的解释，结合小学数学学科的特点，小学数学教师的学科教学知识（PCK）的结构可用图1所示．

图1　小学数学教师的学科教学知识（PCK）的结构

2.1关于数学学科知识

数学学科知识是学科教学知识（PCK）的基础和首要核心的成分，主要包括数学的本质和关于数学认识方法的理解．数学是研究数量关系和空间形式的科学，数学作为对于客观现象概括而逐渐形成的科学语言和工具，不仅是自然科学和技术科学的基础，而且在人文科学与社会科学中发挥越来越重要的作用．数学是人类文化的主要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养［3］．因此，对数学本质的理解应有以下几个层面：第一是知识层面的，包括数学的概念、公式、定理等，这些是数学有别于其他学科的内容体系；第二是思想方法层面的，是使人终身受益的、当大部分数学知识忘记之后剩下的东西，也就是一个人的思维方式和他的价值取向；第三是文化层面的，数学是一种文化，它展示了数学除了具体有形的知识（数学的内容、方法、应用等）外，还具有无形的知识（如理性层面、精神层面的内容），这些无疑会对学生理性精神的发展起到积极的作用．

2.2关于数学课程的知识

小学数学教师的数学课程知识可分为三个层次.第一层次是关于小学数学课程的总体目标和客观的课程结构，《义务教育数学课程标准（2011年版）》将义务教育阶段的数学课程知识划分成“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”、“综合与实践”四个领域；第二层次是关于各领域的目标和教科书基本结构的知识；第三层次是关于特定课题的目标要求和教科书组织的知识．在小学数学教师的课程知识结构中，前一层次对后一层次知识起着指导和定位的作用．

《义务教育数学课程标准（2011年版）》还强调了数学与社会生活以及其他学科之间的关系，因此，在小学数学教师的课程知识中还应包括特定课题在横向和纵向组织及结构的知识（如轴对称和平移的关系）以及与其他学科的联系等．为适应学生个性化学习的需要，教师还必须具有对小学数学知识进行各种表征的知识，这种表征可以由隐喻、类似、图解、活动、举例等组成，这些知识是连接教师的理解与学生需求的桥梁．

2.3关于学生理解数学的知识

学科教学知识（PCK）的内涵实质就是一种“转化”，将学科知识转化为学生学习的形式，其核心就是“立足学生立场，实现有效转化”．为了实现有效地将数学知识转化为学生可以理解的形式，教师必须关注和呼应学生的思考，知道学生是如何理解数学的．

学生理解数学的知识包括三个方面：其一是对特定的数学课题学生知道了什么，也就是学生已有的知识和基础是什么，只有明确了学生对特定的数学课题知道了什么，教师才能设计出特定课题的逻辑起点，将特定课题与学生原有知识和经验建立起有意义的联系，促进学生对数学知识的理解．例如，在五年级学习“分数的意义”内容时，学生已有的知识基础是三年级学习的“认识几分之几”（知道将一个物体进行平均分后，表示其中几份的数就是几分之几），这是学生学习“分数的意义”的逻辑起点．其二是学生对特定数学课题的可能的认知途径，例如，在面对12×4这样一个算题时，不同的学生会根据自己的理解得出了以下不同的算法：（1）12+12+12+12=48；（2）4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4=48；（3）12×2+12×2=48；（4）6×2×4=6× 8=48；（5）（6+6）×4=6×4+6×4=48；（6）10+10+10+10+2+2+2+2=48；（7）4×10+4×2=40+8=48.只有对学生可能的认知路径心中有数，才能设计出适合学生个性发展的教学设计．其三是学生理解特定的数学课题会出现哪些典型的错误等．

2.4关于数学教学策略的知识

教学策略主要是指教学内容的选择与组织、教学内容的表征与呈现方式、学生活动的设计等．选择什么样的教学策略是基于某个特定课题以及教师对这个课题PCK前三个方面的理解．例如，对于“加法交换律”与“平行四边形面积”这两个课题，所采用的教学策略就各不相同．“加法交换律”侧重于让学生从特例归纳出运算定律；“平行四边形面积”则侧重于运用化归转化的方法将平行四边形转化为长方形，利用长方形面积公式推出平行四边形面积．

选择数学教学策略应遵循以下三条原则：（1）要让学生经历数学知识的发生发展过程，即在教师的指导下，让学生去揭示数学知识的形成过程，感受数学知识的发展方向，使数学学习成为学生“再创造”“再发现”的过程；（2）要为学生提供一个熟悉的、可接受的情境，以促进学生对知识的理解；（3）要选择合理的数学表征方式，以突出所教课题内容的本质属性，适合学生的思维特点．

3　学科教学知识（PCK）对师范生教育的启示

学科教学知识（PCK）是由学科知识、课程知识、学生理解的知识和教学的知识重组整合而成的，它来源与对数学本质和数学知识发生发展过程的理解、对学生学习数学心理过程的把握以及对实践的感受和体悟．因此，在师范生教育中必须注意以下几个方面，才能有效地帮助师范生建构学科教学知识（PCK）．

3.1提升师范生对数学学科知识的理解水平

数学学科知识是PCK结构的基石，只有把握数学的本质，才能获得对学科知识的深刻理解．

把握数学的本质应做到以下几个方面：一是对数学基本概念的理解，数学概念是构成数学知识体系基本的、重要的组成部分，对数学概念的理解包括知道概念的原型、数学内涵、数学符号以及由此概念构建的一个概念体系等．二是对数学思想方法的挖掘，数学思想方法和数学知识一样是构成数学教学的两条主线，只不过数学知识是一条明线，而数学思想方法是一条暗线，与数学知识相比，数学思想方法具有更高的概括性和包容性，对人的成长和发展具有更重要的影响．小学阶段的数学思想方法主要有：分类思想、转化思想（或化归思想）、数形结合思想、一一对应思想、函数思想、方程思想、集合思想、符号化思想、类比思想等．三是对数学特有思维方式的感悟，每一学科都有其独特的认识世界的角度和思维方式，数学思维具有概括性、问题性和相似性等特点［4］，这些特点构成了数学特有的思维方式，它直接影响着人们掌握和发现数学知识的广度和深度．小学阶段主要的思维方式有：比较、分析、类比、抽象、概括、猜想等．四是对数学美的鉴赏，数学美的核心是简洁、对称、奇异、统一等，领悟和欣赏数学美是一个人数学素养的基本成分．五是对数学精神的追求，数学本身就是一种精神，一种探索精神，正是这种精神，使得人类思维得以应用到更完善的程度，也正是由于这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活，努力去理解和控制自然，尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻和最完美的内涵［5］．

因此，在数学专业类课程的教学中，要注重科学主义与人文主义目标的整合，要让学生在数学知识的学习中了解其背后的精神、思想和方法，感悟数学特有的思维方式［6］；要适时地向学生渗透一些与所学内容有关的数学史知识，使学生了解古今中外数学史上具有里程碑式的重大数学成果的孕育、发展和完善的演化过程，从中学习数学原始创新的一般规律和思维方法，感受数学中所蕴涵的丰富深邃的哲理思想以及数学与自然科学的密切联系，帮助学生把握数学的本质［7］．

3.2拓展师范生对小学生数学理解的认识

基于“学生立场”进行教学，按照学生的心理特点和认知水平及已有的知识经验去审视并组织所教的知识，才能将学科知识转化为学生可学的形式．要做到基于“学生立场”进行教学，就必须对小学生数学理解有深刻的认识，除了要知道小学生对特定课题知道了什么、可能认识的途径以及典型的错误之外，很重要的一点是要明确产生错误的原因，只有这样才能对学生进行有效的指导．例如，在学习“异分母分数加法”这一内容时，学生常出现的错误是将分子与分子相加、分母与分母相加．表面上看，学生是用错了分数加法的运算法则，如果仅站在这个角度来看待问题，那么教师就会从分数加法法则入手，强调要进行通分化为同分母分数计算，这样做的结果是小学生只记住了法则，学会了计算，但没有理解原因，以后遇到相似的问题可能还会出错．实际上学生出现这个错误是受到“整数以及小数加法”计算方法负迁移的影响，究其深层次的原因是小学生对整数、小数以及同分母分数加法法则的本质（相同计数单位才能相加）不理解所致．

因此，在课程教学中，应从以往的关注教师是“如何教”的，转向既关注教师是“如何教”，又关注学生是“如何学”．可以通过案例教学的方式，将小学生可能出现的典型问题呈现给师范生进行讨论分析；也可以让师范生去关注小学生的作业本，通过与小学生的个别交流，了解其出现错误的个体原因，再通过与小学专家教师的讨论，挖掘小学生出现错误的真正共性根源，只有这样才能做到基于“学生立场”进行教学．

3.3发展师范生对数学理解的多元表征能力

在数学教学中，教师要整合其对学科知识的理解以及对小学生理解数学知识的认识，并将它们用一定的方式呈现和表达出来，才有可能被学生所理解．对同一个数学知识，可以有不同的方式进行表征，但不同的表征只提供该知识的某一方面的信息，而且不同的表征对学生理解数学的作用是不相同的．图形表征给学生以直观的映像，便于学生理解；文字表征突出概念的本质属性，便于学生掌握概念的内涵；符号表征体现了数学的简洁美和抽象性的特征．例如，在学习三角形概念时，教材中是以文字的形式给出三角形的概念“三条线段围成的图形叫三角形”，这个概念的关键词是“三条线段”“围成”，学生理解的难点是“围成”，用图形表征就可以直观地展示概念的内涵（见图2）．

图2　用图形表征直观地展示三角形的内涵

一个合适的教学表征的使用会直接影响到小学生对数学知识的理解，在选取用什么方式来表征数学时，要考虑到其是否反映了该知识的本质属性和特征，是否遵循了学生的认知特点．

3.4建立丰富的PCK资源库，帮助师范生积累学科教学知识

在构成小学数学教师PCK的四种知识结构中，师范生最为欠缺的是关于学生理解数学知识以及对特定课题教学策略的知识．这两类知识更多地是来源于实践经验的积累，因此需要建立PCK资源库，将优秀教师的已经被实践证明对特定课题有效的PCK整理保存下来，提供给师范生，使其经过理解、转化后内化为个人的知识，帮助师范生积累学科教学知识．

3.5加强实践教学，在实践中发展师范生的学科教学知识

学科教学知识（PCK）不是一种静态的知识，它具有情境性、个体性，是一种在实践中逐步生成的动态知识，需要在“实践——反思——再实践——再反思”的循环反复中［8］，将原有知识进行再造和重组，是从事教学实践活动的教师所独有的．所以，仅凭课堂教学，师范生是无法形成真正的学科教学知识，必须加强实践，在实践中发展师范生的学科教学知识．

实践教学不仅要注重量的提高（如延长学生的见习、实习时间），更要注重质的把控，应加强对师范生的见实习指导工作，引导师范生围绕着学科教学知识（PCK）在“实践——反思——讨论——再实践——再反思——再讨论”的循环中建构自己的学科教学知识（PCK）．

参考文献：

［1］廖元锡.PCK——使教学最有效的知识［J］.教师教育研究，2005,17（6）：37-40.

［2］Grossman P.L.The making of a teacher:Teacher Knowledge and Teacher Education［M］.New York:Teacher College Press,1990.

［3］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准［M］．2011年版.北京：北京师范大学出版社，2011.

［4］任樟辉.数学思维论［M］.广西:广西教育出版社,1996.

［5］Klein M.张祖贵,译.西方文化中的数学［M］.上海:复旦大学出版社,2004.

［6］许燕频.数学文化的教育功能及启示［J］.龙岩学院学报,2007,25(3):100-103.

［7］许燕频.将数学史融入数学教育中的思考与探索［J］.福建高等商业专科学校学报,2008,63(1):70-72.

［8］汤杰英,周兢,韩春红.学科教学知识构成的厘清及对教师教育的启示［J］.教育科学,2012,28(10):37-42.

（责任编辑：李婉）

中图分类号：G620

文献标识码：A

文章编号：1007-5348（2015）06-0080-05

［收稿日期］2014-01-20

［基金项目］福建幼儿师范高等专科学校重点课题（FJYGZ-B09）.

［作者简介］许燕频（1963－），女，福建福州人，福建幼儿师范高等专科学校人文科学系副教授，硕士；研究方向：数学教育教学、小学数学教育.

On Pedagogical Content Knowledge（PCK）on Mathematics Normal Education——A Case Study of Mathematics Course in Elementary Schools

XU Yan-pin
（Department of Humanities,Fujian Infant normal College,Fuzhou 350007,Fujian,China）

Abstract:Pedagogical Content Knowledge（PCK）is a special integration of personal teaching experience, subject content knowledge and pedagogy.The pedagogical content knowledge（PCK）of primary mathematics teacher is res tructuring and integration of knowledge of mathematics,mathematics curriculum knowledge, knowledge of students'understanding of mathematical knowledge and teaching strategies of mathematics.Student of normal school should be adopted to enhance the understanding of mathematical knowledge,to expand the understanding of elementary school students’knowledge of mathematics,to develop the ability of multiple representations for mathematical knowledge,to establish a rich repository of PCK,to strengthen teaching practice, and so on.The aim is to help students of normal school construct pedagogical content knowledge（PCK）.

Key words:PCK;Mathematics;Student of normal school;Education