数学课堂的“放”与“收”

冉旭忠

归还学生课堂的主体地位，尽可能地把知识的探究权交给学生，让学生在这个过程中掌握方法、锻炼能力、激发情趣，这已经是当今一线教师的共识，也是新课程理念的核心所在。但在实际操作中，总是忽左忽右，效果难尽人意。现结合一节课的课堂实况，谈一下初中数学课堂的“放”与“收”。教学内容是人教版初中数学《菱形的性质》。

一、课堂实录

1.明确概念：

充分利用几何画板上的图形可运动变化的功能，以复习提问的方式先回顾矩形的形成过程，然后顺势过渡到邻边相等的特殊情况，直接明确“菱形”的概念。

2.鼓励学生列举几个生活中菱形的实例，拉近与新知的心理距离，激起对其进一步探究的兴趣。

3.出示本节课学习目标：

①理解菱形的概念，明确菱形与平行四边形的联系与区别;

②探究并证明菱形的性质，能灵活地利用菱形的性质进行相关的计算;

③在合作学习过程中，学习阐述自己观点的方法。

4.问题：菱形是特殊的平行四边形，那么它是不是像矩形一样，除具备平行四边形的一切性质以外，还具有一些属于自己特有的性质呢？

铺垫：在探究性质之前，先观察几何画板中动态变化的菱形，BD不变，拉长或缩短AC;AC不变，再拉长或缩短BD。B、D由在点O处重合再慢慢分开。演示几次后，先独立寻找3分钟，然后小组内交流，成果分享，再次提升，本环节时间共用时6分钟。

5.成果汇报（代表的是学习小组），组际之间相互补充，教师板书（有意排列顺序）。7名学生汇报，经整理所得结果如下：

（1）菱形的四条边相等;

（2）菱形的对角线相互垂直;

（3）菱形的每一条对角线平分一组对角;（原结论：对角线平分内角）

（4）菱形被对角线分成四个全等的直角三角形;（一组看出全等，另一组补充直角）

（5）菱形是以对角线所在的直线为对称轴的轴对称图形。（一组说对称，另一组说对称轴是对角线，教师追问后，又一名学生补充完整）

6.结论证明：

完全放手，以自愿抢答的方式到黑板前，借助于黑板上的图形讲解性质1的证明思路，写出证明过程。待大家都认可后，教师明确这是菱形性质定理1。

接下来在课前发放的答题卡上证明归纳出来第2条和第3条性质。完成方式是，先独立完成，时间3分钟，然后相互交流（没思路的可向他人请教，已完成的同学间相互比对一下思路及证明过程，相互借鉴，修正，尽量使自己完成得更完美），交流时间3分钟。然后，采取自愿抢答式到黑板前向大家汇报自己的证明思路，并用实物展台展示自己的证明过程。

第一名学生是证明△ABO≌△ADO的方法;

第二名学生反驳，证明得太啰唆，可以直接利用等腰三角形三线合一的性质，AB=AD，BO=DO，所以AC⊥BD，∠BAC=∠DAC。

第一名学生一拍脑门，哦，我忘了这条性质。师追问：还有没有其他证明方法呢？沉寂了好一会，没有结果。师：如果你有兴趣，课下继续去研究，相信你一定还会找到其他方法。

第2条、第3条反应的都是对角线的性质，所以合二为一，明确这是菱形的性质定理2。

有了对性质定理2的证明，第4条、第5条的结论证明一带而过，采取抢答的方式到黑板前讲解思路即可。教师明确，这两条结论虽然成立，但不属于菱形的性质定理。

7.性质定理的应用：

如图2，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，求菱形ABCD的周长和面积。

解决的办法还是放手，让学生先独立思考解答，时间3分钟。时间到了之后直接汇报。第一步求周长，没问题。第二步，求面积，意见出现了分歧：

第一名学生是先求一个小直角三角形的面积，再乘以4。

第二名学生认为先求△ABD的面积更为简洁。

两个方法代表着两种思路，结合着本题的已知条件，一番辩论，在辩论的过程中，有一个学生发现了技巧：用BD的长乘以AO的长直接就是菱形的面积。

我赶紧追问为什么？这名学生走到前面，结合着式子清楚地解释了一番，班级都静了。我表示惊讶，本节课小组评价的创新分出现了，直接为这名同学所在的小组加上5分。顺势追问，如果把菱形的两条对角线的长加以改变，谁能快速地回答出这个菱形的面积？列举三例，都顺利解答。于是给出了菱形又一个面积公式S菱形ABCD=     AC·BD。

8.巩固提升1：

如图3，在菱形ABCD中，∠BAC=30°，BC=6。

求：（1）∠BCD和∠ABC的度数。

（2）对角线AC、BD的长。

（3）菱形ABCD的面积。

解决办法还是独立思考解答3分钟，然后直接汇报。

（1）求∠BCD，第一名学生是：AB=BC，所以∠BCA=∠BAC=30°，所以∠BCD=2∠BCA=60°。

第二名学生：因为AB∥CD，所以∠DCA=∠BAC=30°， 所以∠BCD=2 ∠DCA=60°。

第三名学生是：因为∠BAD=2 ∠BAC=60°，所以∠BCD= ∠BAD=60°。

（2）求∠ABC，第一名学生的解法竟然是：∠BAC=∠BCD=60°，又因为四边形内角和等于360°，所以∠ABC+∠ADC=360°-2×60°=240°，所以∠ABC=240°÷2=120°。

第二名学生不同意第一名同学的解法，认为太麻烦，他的解法是：在Rt△AOB中，求出∠ABO再乘以2，奇怪的是全班学生都同意。当我追问∠BCD与∠ABC是不是应该存在着某种关系时，很多学生才恍然大悟，可以根据两直线平行，同旁内角互补，直接由∠ABC=180°-∠BCD求得。

第2问、第3问，完成得都很顺利。

9.巩固提升2：

在第8题的任何已知条件都不变，试求AB边上的高DH的长，如图4。利用几何画板，显示出菱形ABCD边AB上的高DH。独立思考解答2分钟。

成果汇报：

第一名学生：因为∠BAD=60°，AB=AD，所以△ABD是等边三角形，所以                          ，在Rt△BDH中，                                        。其他学生无疑问，我追问：既然△ABD是等边三角形，那么AB边的高DH与BD边上的高AO是不是应该相等呀，AO的长我们已经求得了，还用再这样求吗？学生恍然大悟，然后笑了。我的话题一转，△ABD是等边三角形是特殊情况，如果是等边三角形这种方法就不再适用了，那还可以怎样求呢？

第二名学生：由第8题的                    ，所以                                       ，所以

。其他学生感觉到很巧妙，无异议。我追问，这位同学是巧妙地利用三角形面积公式建立关于DH的方程解答的本题。同学们再想：由边AB和它上的高DH仅仅就能表示出△ABD的面积吗？静了一会后有学生举手了，又等了一会，更多的学生眼睛亮了，还按捺不住的向周边的同学解释起来。教师总结，本节课我们是得到了一个新的菱形面积公式，但平行四边形的面积公式仍然适用于它，因为它还是平行四边形。

二、各环节设计意图

第一环节属于概念教学。不适合让学生自己摸索，耗时量太大，还很难抓住关键，恰当的利用教具让他们感觉到出现的顺畅自然，又能建立起清晰的概念即可，这属于“收”。

第三个环节，明确学习目标。顺畅的出示学习目标，更容易激起学生迎难而进的欲望，有的放矢总比盲目跟从的效率要高。但学习目标绝不等同于教学目标，它只是明确本节课需要挑战的各项任务，要回避结论性的东西。例如本节课的学习目标2，明确本节课的主要任务就是找到并证明菱形的性质，还要能用这些性质进行相关的计算，至于究竟性质是什么？有几条？都是未知的。开放课堂，大把的时间放手交给了学生，如果他们只有到下课时才知道本节课的目的是什么，那整个过程一定是低效的。

第四个环节是性质的探究。如果开头就放，任务泛泛，留给学生的空间过大，在有限的时间内，收获可能要有限。所以我在学生探究前，利用几何画板的特有功能，让图形动起来，让学生在动态变化的图形中去发现那些固定不变的特征。为了防止无的放矢，在放手之前，我还设计了一道判断题：“在菱形的变化过程中，我发现AO=CO始终成立，你认为这是我们要找的菱形性质吗？”意图是先用一个实例，提醒学生要找的是那些菱形特有的，而一般平行四边形不具有的性质。这是一个“收”的过程。但收也绝不能过头，如果用菱形卡纸折叠演示，一定会使性质的发现变得更为顺畅，但却使学习缺少了挑战性。完成没有挑战性的任务是乏味和无聊的，情趣和能力培养当然也就要大打折扣。

第六个环节是性质的应用。性质的应用与性质的证明一样，都是尽量放手，给学生足够的时间与空间，充分地信任他们的能力，允许他们走弯路，甚至于犯错。事实也正是如此，性质定理2的证明;第7题求面积;第8题求角度;第9小题，知道菱形边长及面积，求一边上的高等等，这些烦琐的解题方法，如果是教师掌控的课堂，是不可能出现的。但是这些恰恰是孩子们真真正正的最本真的思考。接受新知原本就是使新知与自己已有知识基础重构的过程，是不能替代的。放手了，学生前行得虽然磕磕绊绊，但是方法的掌握、能力的培养、情趣的激发、合作意识的建立等等却全在其中。表面上看，我们的“放”也许多耗掉了一些时间，但在这个过程中学生的思维是活的、精神是专注的、心情是愉悦的。也可以说，这才是真正意义上的学习，而不是嚼蜡似的接受。本节课所有新的知识点挖掘和应用基本上都是由学生完成的。本节课到黑板前讲解的有7人，原座位站起回答、质疑或补充的有21人，且很少让一人多次回答。

“放”不等于不管，及时的点拨引领是必不可少的。简洁、精准、巧妙是数学特有的魅力，当学生挖掘不到位时教师就绝不能再袖手旁观。涉及思想方法渗透的地方，靠学生自己悟，往往是很难看到效果的，也需要教师的引领。例如：利用对角线求菱形面积，给了确定的值，多数同学求解没问题，但让他们归纳出简洁的公式是比较困难的。如果我们直接替他们推导出来，然后让他们套用几次，也是可以记住的，但这种由特殊到一般的探究数学知识的方法就很难心领神会了。所以，在此花费了较多的时间，一步步的引领，最后推着学生自己得出想要的结果，紧接着的应用为他们创设了品味成功的机会。本节课另一个“收”的过程是第9小题的解答：知道了菱形的面积和边长，求一边上的高。学生虽然求出来了，方法还多种，但过于烦琐，此处如不加以点拨，学生本节课建立起来的知识体系将不够完整，也势必影响到后续的学习，所以要给予点拨，要让孩子们在恍然大悟中有所提升。

学习本身就是学生自己的事，真正的思考是别人无法替代的。所以我们时刻都要记得课堂的“收”是为了明天更好的“放”，如果没有“放”的梦想，“收”只能是一厢情愿的徒劳。