基于N分随机乘法模型的多重分形海杂波仿真

胡 冲 罗 丰范一飞 陈帅霖

(西安电子科技大学雷达信号处理国家重点实验室 西安 710071)

基于N分随机乘法模型的多重分形海杂波仿真

胡 冲 罗 丰*范一飞 陈帅霖

(西安电子科技大学雷达信号处理国家重点实验室 西安 710071)

2分随机乘法模型的倍乘因子的分布要求是关于1/2对称的，所以基于此模型仿真出海杂波数据的多重分形谱函数形状比较受限制。该文在分析2分随机乘法模型构造过程的基础上，提出N分随机乘法模型，它是2分随机乘法模型的推广，但却突破倍乘因子分布关于1/2对称的限制，更利于仿真具有期望形状的多重分形谱函数的海杂波数据。理论推导和实验结果均表明倍乘因子的分布决定多重分形谱函数的形状。

目标检测；多重分形；海杂波；随机乘法模型

1 引言

传统的海杂波建模与仿真一般是基于海杂波的统计分布特性，仿真一般要求满足时域的统计分布要求，频域满足特定的功率谱形状[1−3]，比较有代表性的方法有球不变随机过程法(Spherically Invariant Random Process, SIRP)和零记忆非线性变换法(Zero Memory Nonlinearity, ZMNL)等。然而自文献[4]提出分形理论以来，海杂波的分形理论受到了广泛关注[5−8]，因此有学者从分形及多重分形角度对海杂波进行了建模、分析和仿真，其中一种模型便是2分随机乘法模型。文献[9]提出用2分随机乘法模型对海杂波进行建模，并从多重分形角度对其做了理论解释，文献[10,11]也根据2分随机乘法模型的思想分析了实测海杂波的多重分形特性，文献[12-14]运用2分随机乘法模型仿真了具有多重分形特性的海杂波，但2分随机乘法模型的倍乘因子统计分布是关于1/2对称的，这种限制不利于仿真出具有期望形状多重分形谱函数的海杂波数据。

本文在分析2分随机乘法模型构造过程的基础上，提出N分随机乘法模型，该模型倍乘因子的统计分布没有对称性的限制，更有利于仿真出具有期望形状多重分形谱函数的海杂波数据。因为2分随机乘法模型是N分随机乘法模型在N=2时的特殊情况，所以文中直接对N分随机乘法模型进行介绍，并推导该模型的多重分形特性，给出标度指数与多重分形谱函数跟倍乘因子之间的关系且通过实测数据验证了N分随机乘法模型在N≠2时倍乘因子的非对称性。最后通过实验给出不同的倍乘因子统计分布会得出不同的非对称多重分形谱函数，验证了该模型的有效性。

2 N分乘法模型介绍

2.1 定义

考虑一段具有单位质量单位长度的线段。将此线段分为等长的N份，此时每段线段对应的尺度为N−1，同时将单位质量按照比例r:r:…:r

12N

(r1+r2+…+rN=1且0＜ri＜1, i=1,2,…,N)分配给这N等份线段。然后对N个线段中每个线段同样进行这样的长度N等分而质量按照比例r1:r2:…:rN的分配操作，一直这样操作下去，过程如图1所示，此模型称为“N分乘法模型”。 其中的比例因子r1,r2,…,rN称为“倍乘因子”。若r1,r2,…,rN为常数c1,c2,…,cN时，则称为“N分常乘法模型”，若r1,r2,…,rN为服从某种统计分布的随机变量时，则称为“N分随机乘法模型”。

图1 N分乘法模型构造过程示意图

2.2 模型的多重分形特性证明

N分常乘法模型在第n阶段将产生Nn个数据。若N个常倍乘因子c1,c2,…,cN不满足c1=c2=…=cN=1/N 时，则它是多重分形的。下面用Q阶矩结构分割函数法(Qth order Moment Structure Partition Function, Q-MSPF)[15]法来证明它的多重分形特性。

设序列{xi}, i=1,2,…,Nn是N分常乘法模型在第n阶段产生的序列。很明显它满足归一化条件

根据式(1)求序列在第n阶段的配分函数χq(ε)，其中ε=N−n为第n阶段的尺度[9]。

然后通过式(2)求q次相关指数τ(q)[9]：

由序列{xi}的构造过程可知，在第n阶段式(3)成立：

可将式(2)改写为

其中a为常比例因子。由式(3)可知对于任意的尺度ε(即对于任意的h)，当q=1时，χq(ε)=1。那么，当q=1时取h=0得a=1。所以

式(5)两边取对数得到τ(q)～q 曲线的函数关系：

由式(6)可知，当ci(i=1,2,…,N)不同时为1/N时，τ(q)～q曲线不是一条直线，因此N分常乘法模型是多重分形的[15]。

2.3 倍乘因子与标度指数的关系

多重分形的标度指数α(q)与其τ(q)存在的关系[9,16]为

将式(6)代入式(7)，得

不妨设c1＜c2＜c3＜…＜cN，则式(8)可写为

或者

由式(9)和式(10)可以得出α(q)的取值范围：

由式(11)和式(12)知，倍乘因子的分布范围决定了标度指数的分布范围，由式(8)知，倍乘因子的分布形式决定了标度指数的分布形式。而多重分形谱函数与标度指数的关系为

将式(6)和式(8)代入得

由式(14)知，倍乘因子的分布也决定了多重分形谱函数的形式.

2.4 倍乘因子的统计分析

实测海杂波数据的倍乘因子ri(i=1,2,…,N )一般都不是常数，而是随机的值，设其概率密度函数为p(ri)(0＜ri＜1)。当N=2时，由于倍乘因子r与1−r在逻辑上的对称性，所以它们有着同样的概率密度函数p(r)并且p(r)的形状是关于r=1/2轴对称的[13,14]。当N≠2时，ri与1−ri在逻辑上不存在对称性，所以其概率密度函数p(ri)不是对称的，但由于要满足，所以它们往往在r=1/N处取得均值。下面采用实测数据验证该结论的正确性。

文中采用来自加拿大McMaster大学的IPIX雷达在加拿大东海岸Dartmouth附近一个30 m高的山崖上测得的#283(19931118_035737_stareC0000. cdf)数据文件。文件中的数据集包含14个距离单元，每个距离单元由连续217个时域数据组成，共14×217个数据，每个数据由I通道和Q通道数据表示(I+jQ)。数据有两种极化方式：水平极化发射水平极化接收(Horizontal transmission, Horizontal reception, HH)和垂直极化发射垂直极化接收(Vertical transmission, Vertical reception, VV)。实验中的目标是由金属丝缠绕的直径为1 m的锚定聚乙烯物体。有目标距离单元为第10单元，第8、第9、第11和第12距离单元为目标扩展单元，其它为海杂波单元。图2为14个距离单元一段时间的海杂波数据模值。IPIX雷达的主要参数如表1所示。

表1 IPIX雷达参数

首先需要提取实测海杂波的倍乘因子。设实测海杂波序列为X={x1,x2,…,xL},L=Nn。由序列X计算序列Y={y1,y2,…,yL/N}，使其满足

那么可以计算出倍乘因子序列R={r1,r2,…,rL}满足

表2 实测海杂波倍乘因子均值

表3 实测海杂波倍乘因子的偏度

3 仿真海杂波数据的多重分形特性验证

通过本文第2部分的分析，不妨先寻求一个满足条件的概率密度函数作为倍乘因子r的概率密度函数来仿真海杂波。对于2分随机乘法模型，本文用对称的正态分布的概率密度函数来生成倍乘因子，对于N分随机乘法模型，我们用非对称的瑞利分布的概率密度函数来生成倍乘因子。但是正态分布随机变量的取值是在(−∞,∞)之间的，瑞利分布随机变量的取值是在(0,∞)之间的，而倍乘因子的取值是在(0,1)之间的，那么本文提出一种保留舍弃法来产生在特定区间服从某种分布的随机变量的方法。

若X1和X2是[0,1]区间上的均匀分布随机数，由式(17)和式(18)确定的随机数Y1和Y2是相互正交的标准正态随机数

图2 实测海杂波数据

图3 实测海杂波数据倍乘因子统计分布

任意一个正态分布随机数可由标准正态随机数得到。

若X1和X2是两个独立均值为零的正态随机数，则式(19)确定的随机数Y为瑞利分布的随机数。

任意一个瑞利随机数可由均值为零的正态随机数得到。

每产生一个随机数，检验其是否在(0,1)区间里。如果在，保留；如果不在，舍弃。直到保留点的随机数个数达到所需的数目为止。本文给出了当N=3时仿真产生的两组不同倍乘因子分布时的海杂波数据，并对几组仿真数据的非高斯性、长时相关性和尺度不变性进行了验证[17,18]，证明了仿真数据具有多重分形特性。图4和图5给出了其中一种倍乘因子分布时仿真产生的海杂波数据及其logN(Sm(q))～logN(m)曲线、τ(q)～q曲线和多重分形谱函数，图6和图7给出了另一种倍乘因子分布时仿真产生的海杂波数据及其logN(Sm(q))～logN(m)曲线、τ(q)～q曲线和多重分形谱函数。从图4、图5、图6和图7知，本文产生的海杂波数据具有多重分形特性。

根据本文2.3节对倍乘因子与标度指数关系的分析，倍乘因子的统计分布间接影响多重分形谱函数的形状。图8是N=3时，不同倍乘因子分布时和其对应的多重分形谱函数，可以看到不同分布的倍乘因子对应不同对称性的多重分形谱函数，当倍乘因子分布偏左时，仿真出的海杂波的多重分形谱函数偏右，反之，当倍乘因子分布偏右时，仿真出的海杂波的多重分形谱函数偏左，验证了本文2.3节倍乘因子分布决定多重分形谱函数形式的结论。

4 结束语

本文提出N分随机乘法模型仿真具有多重分形特性的海杂波，它是2分乘法模型的推广，但却突破了倍乘因子统计分布对称性的限制，更有利于产生具有期望非对称性的多重分形谱函数的数据。文中对该模型的多重分形特性做了证明，并给出了标度指数与倍乘因子之间的关系。最后通过实验证明运用该方法仿真出的海杂波数据具有多重分形特性且可以根据倍乘因子的统计分布产生不同特性的多重分形海杂波数据。

图4 第1组倍乘因子分布仿真的海杂波数据及其logN(Sm(q))～logN(m)曲线

图5 第1组倍乘因子分布仿真海杂波数据 的τ(q)～q 曲线和其多重分形谱函数

图6 第2组倍乘因子分布仿真的海杂波数据及其logN(Sm(q))～logN(m)曲线

图7 第2组倍乘因子分布仿真海杂波数据的τ(q)～q 曲线和多重分形谱函数

图8 不同分布的倍乘因子对应不同的多重分形谱函数

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胡 冲： 男，1987年生，博士生，研究方向为海杂波特性分析与建模、海杂波背景下的目标检测等.

罗 丰： 男，1971年生，博士，教授，研究方向为雷达信号与信息处理、海杂波特性分析与建模、杂波背景下的目标检测、跟踪与航迹关联等.

范一飞： 男，1989年生，博士生，研究方向为海杂波特性分析与建模、海杂波背景下的目标检测等.

陈帅霖： 男，1986年生，博士生，研究方向为杂波背景下的目标检测、跟踪及航迹关联等.

Simulating Multifractal Sea Clutter by N-partitioned Random Multiplicative Process Model

Hu Chong Luo Feng Fan Yi-fei Chen Shuai-lin
(National Laboratory of Radar Signal Processing, Xidian University, Xi'an 710071, China)

The distribution of a multiplier of 2-partitioned random multiplicative model is symmetric about 1/2, which makes the shape of multifractal function of the simulation data be fixed. Based on the analysis of the construction process of the 2-partitioned random multiplicative model, the N-partitioned random multiplicative model is proposed, as a generalization of the 2-partitioned and it breaks the limitation that the multiplier is symmetric about 1/2. The model is more convenient to simulate data with the desired shape of multifractal function. It is proved theoretically and experimentally that the distribution of the multiplier determines the shape of the multifractal function.

Target detection; Multifractal; Sea clutter; Random multiplicative process model

TN959.72

： A

：1009-5896(2015)06-1470-06

10.11999/JEIT141042

2014-08-04收到，2014-10-20改回

国家部委基金资助课题

*通信作者：罗丰 luofeng@xidian.edu.cn