一类分形插值曲面的构造方法

孙秀清

(江苏联合职业技术学院镇江分院 基础部，江苏 镇江 212016)

一类分形插值曲面的构造方法

孙秀清

(江苏联合职业技术学院镇江分院 基础部，江苏 镇江 212016)

主要介绍矩形域上一类分形插值曲面的构造方法，并对分形插值曲面的连续性进行严格的证明。

仿射分形插值函数；压缩因子 ；分形插值曲面

1986年，Barnsley[1-2]基于迭代函数系理论首先提出了分形插值函数的概念，它为数据拟合、函数逼近和计算机应用等提供了一种新的工具。多年来，许多学者对分形插值曲面的构造方法展开了广泛讨论，现有文献已经做了很多的工作，取得了丰硕的成果。文献[3]构造了在三维空间里一类多参数分形插值曲面。文献[4]构造了一例分段连续系统，并用迭代函数系来表示，进而研究它的分形特征。以上研究在迭代函数系中使用的都是常数压缩因子。文献[5]研究了一类分形插值曲面的中心变差，为这类分形插值曲面的分形维数的计算提供了基础。文献[6]考虑了多边形区域上过任意插值点的自仿射分形插值曲面。文献[7]证明了，在矩形区域上，当边界插值点共线时，迭代函数系的不变集是连续的插值曲面。文献[8]构造了有相同压缩因子的迭代函数系， 提出了等距插值时新的构造分形插值函数的方法。文献[9]构造了一类具有函数垂直尺度因子的迭代函数系，这类迭代函数系与传统迭代函数系相比，在生成分形插值曲面时更加方便，对插值结点要求的条件也更简单。事实上，这些构造方法都给出了一些限制条件，如插值点共线、压缩因子相等，Dalla[10]解除边界插值节点共线和压缩因子相等的限制，给出了一种新颖的构造方法。本文所研究的分形插值曲面的构造方法，放宽了边界插值结点、压缩因子相等这些限制条件，使得插值方法更加灵活，分形插值曲面的应用更具灵活性和普适性。

1 仿射分形插值函数

给定闭区间

I=[a,b]。

令

{(xi,yi):i=0,1,…,m}

是I×R上的插值结点集,m∈N+且m≥2。其中

a=x0

是I的1个分划。定义线性映射

Li(x)=aix+bi,

满足条件

Li(a)=xi-1,

Li(b)=xi,

s=max{|Si|:i=1,2,…,m}<1

叫做垂直压缩因子,我们定义映射

I×R→R,

Fi(x,z)=siz+cix+di,

满足条件

Fi(a,z0)=zi-1,

Fi(b,zm)=zi,

其中i=1,2,…,m。我们得到仿射映射I×R→I×R:

(1)

其中

(2)

且i=1,2,…,m,则构成1个插值结点是

{(xi,zi):i=0,1,…,m}

的迭代函数系

{I×R;ωi,i=1,2,…,m}。

(3)

根据参考文献[1-2],我们可以得到下面的定理。

定理1设{I×R;ωi,i=1,2,…,m}是双曲迭代函数系,则存在唯一的不变集

K⊂R2。

它是I上f的连续函数的图像,插值结点集是

{(xi,zi):i=0,1,…,m}。

即

K={(x,z):z=f(x),x∈I},

其中

f(xi)=zi,

i=0,1,2,…,m。如果

并且插值结点不在1条直线上,那么K的计盒维数就是满足方程

(4)

的唯一解D,否则

dimB(K)=1。

通常情况下,f处处不光滑,f的计盒维数大于1。f是仿射映射ωi(i=1,2,…,m)生成的迭代函数系,那么f叫做仿射分形插值函数。

定理2f是迭代函数系{I×R;ωi,i=1,2,…,m}生成的仿射分形插值函数,当且仅当f满足方程

f(Li(x))=Fi(x,f(x)),

(5)

其中x∈I,i=1,2,…,m。

定理3假设压缩因子

|si|<1,

i=1,2,…,m,两组插值结点集

{(xi,zi):i=0,1,…,m}，

f和g是对应的仿射分形插值函数,则

(6)

其中

‖f-g‖∞=max{|f(x)-g(x)|:x∈I}。

证明令x∈I。假设x∈[xi-1,xi]。根据定理2,

因为

又因为

s=max{|Si|:i=1,2,…,m}<1≤

同理

因此,记

即

2 构造分形插值曲面

令

G=[a,b]×[c,d]

是R2上的矩形域,

{(xi,yj,zi,j):i=0,1,…,m;j=0,1,…,n}

是R3上的一组数集,其中

a=x0

c=y0

令ui(y)(i=0,1,…,m)是

J=[c,d]

上的(m+1)次连续函数,满足插值条件

ui(yj)=zi,j,

其中j=0,1,…,m。

对于任意y∈[a,b]和数集{(xi,ui(y)):i=0,1,…,m},根据上述仿射分形插值函数的构造方法,能得到插值结点集是{(xi,ui(y)):i=0,1,…,m}的仿射分形插值函数gy(x),那么有

gy(xi)=ui(y),

i=0,1,2,…,m。

令

f(x,y)=gy(x),

(x,y)∈[a,b]×[c,d]。

那么f(x,y)是[a,b]×[c,d]上的一个二元函数,并且满足插值条件

f(xi,yj)=zi,j,

其中i=0,1,2,…,m,j=0,1,2,…,n。

定理4f是G=[a,b]×[c,d]上的一个连续函数。

得到

i=0,1,2,…,m。根据函数f(x,y)的构造方法和定理3,有

令

δ=min{δ1,δ2}，

对于

可以得到

因此函数f(x,y)在G上是连续的。

引理对于任意的x∈[a,b],如果截面z=f(x,y),y∈[c,d]是由迭代函数系

生成的仿射分形插值函数,其中

那么截面

z=f(Li(x),y),

y∈[c,d]也是一个由迭代函数系

生成的仿射分形插值函数,其中

证明对于任意的y∈[yj-1,yj],因为截面

z=f(·,y),

都是[a,b]的仿射分形插值函数,据定理2得

f(Li(x),y)=Fi,j(x,f(x,y))=

sif(x,y)+ci,yx+di,j,

(7)

(8)

因为截面

z=f(x,·)

是闭区间[c,d]上的仿射分形插值函数,是由迭代函数系

生成的,那么

又根据方程(7)和(8)得

(9)

因为

z=f(xk,·),

i=0,1,2,…,m,是[c,d]上的仿射分形插值函数,根据定理2得

结合方程(9)得

其中Ai,j,Bi,j,Ci,j和Di,j在y上相互是独立的。因此

z=f(Li(x),·)

也是一个仿射分形插值函数。完成引理的证明。

定理5如果ui(y),i=0,1,2,…,m是闭区间[c,d]上的仿射分形插值函数,那么对于任意的x∈[a,b],f(x,·)也是闭区间[c,d]上的仿射分形插值函数。

证明对于任意的固定点x∈[a,b],令

z=g(y)

是闭区间[c,d]上的仿射分形插值函数,插值结点集是

{(yj,f(x,yj)):j=0,1,2,…,n},

压缩因子是

需要证明对于任意的y∈[c,d],

f(x,y)=g(y)。

显而易见,存在连续的{i1,i2,…,ik,…},其中ik∈{1,2,…,m},那么

xk=Li1∘Li2∘…∘Lik(x0)→x,(k→∞)。

因为f(x0,·)是闭区间[c,d]上的仿射分形插值函数,根据引理,截面f(xk,·),k=1,2,3,…是闭区间[c,d]上的仿射分形插值函数,压缩因子是

因为f(·,yj),j=0,1,…,n在闭区间[a,b]上是连续的,对于任意的ε>0,存在N∈Z+,如果k>N,有

|f(xk,yj)-g(yj)|=|f(xk,yj)-f(x,yj)|<ε,

j=0,1,…,n,则任意的y∈[c,d]和k>N,根据定理3,

|f(xk,y)-g(y)|≤‖f(xk,y)-g‖∞≤

说明

根据定理4,定理5证明完毕。

[1] BARNSLEY M F. Fractal functions and interpolation[J].Constr Approx,1986(2):303-329.

[2] BARNSLEY M F. Fractal everywhere[M].New York: Academic Press,1988:17-18.

[3] 江镅,冯志刚.一类多参数分形插值曲面[J].成都信息工程学院学报,2009,24(6):616-618.

[4] 戴俊.一例分段连续系统的分形特征[J].江苏科技大学学报:自然科学版,2006,20(5):37-40.

[5] 孙秀清.基于分形插值函数生成的分形插值曲面的中心变差[J].镇江高专学报,2014,27(3):44-47.

[6] GERONIMO J S,HARDIN D. Fractal interpolation surfaces and a related 2-D multiresolution analysis [J]. Journal of Mathematical Analysis and Application,1993,176 (2) :561-586.

[7] DALLA L. Bivariate fractal interpolation functions on grids[J]. Fractals,2002,10 (1):53-58.

[8] ROBERT M. The minkowski dimension of the bivartiate fractal interpolation surfaces [J].Chaos Solition and Fractal, 2006(27):1147- 1156.

[9] 彭涛.一类具有函数垂直比例因子的分形插值曲面[J].江苏科技大学学报:自然科学版,2010,24(6):615-618.

[10] BOUBOULIS P，DALLA L. Fractal interpolation surfaces derived from fractal interpolation functions[J]. Math Anal Appl,2007 (336):919-936.

〔责任编辑： 卢 蕊〕

Aconstructionmethodofaclassoffractalinterpolationsurfaces

SUNXiu-qing

(Basic Courses Department，Zhenjiang Branch of Jiangsu Joint Vocational and Technical College， Zhenjiang 212016，China)

A construction method of fractal interpolation surface on a rectangular domain with arbitrary interpolation nodes is introduced. The continuity of the bivariate functions corresponding to this type of fractal interpolation surfaces is proved.

affine fractal interpolation function; vertical scaling factors; fractal interpolation surface

2014-12-05

国家自然基金会资助项目(51079064)

孙秀清(1978—)，女，吉林松原人，讲师，硕士，主要从事数学分形插值函数研究。

O186.1

： A

：1008-8148(2015)02-0055-04