有限体积法定价欧式看跌期权

同济大学数学系 徐清悦

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有限体积法定价欧式看跌期权

同济大学数学系 徐清悦

摘要：基于线性有限元空间，可以构造出欧式看跌期权定价模型的两种稳定的全离散有限体积格式。并且通过数值实验的结果表明，有限体积法的定价是一种稳定且高效的方式。

关键词：欧式看跌期权 有限体积格式 数值实验

有限体积法最早由我国学者李荣华教授以广义差分法的名称提出[1]，目前已和有限差分法、有限元法一样，成为当今重要的三大偏微分方程(PDE)数值方法之一。由于该方法具有格式构造简单、数值精度高、网格剖分灵活和易于处理复杂的边界条件的特点，更重要的是可以保持某些物理量局部守恒性，因此在计算流体力学等领域有着十分广泛的应用。

近年来，有限体积法也被众多学者应用于期权定价问题的计算中，并且受到了广泛的关注和研究[2-6]。其中，文献[2-3]采用的是一种被称之为“Fitted fi nite volume method”的离散方法对期权定价模型进行离散，最后得到期权的价格。而文献[4]对“stochastic volatility”模型的对流项和扩散项分别采用有限体积法和有限元法离散，并结合惩罚函数法得到期权的价格。然而“Fitted”有限体积法并没有直接建立在有限元空间上的离散，因此该方法并不是真正意义上经典的有限体积法，其更像是积分插值法的特殊改进。经典的有限体积法定价美式期权可以参考文献[5-6]。

虽然欧式期权有着显示的定价公式，但是很多时候人们更愿意采用先进的数值方法结合计算机技术进行科学计算。因此，本文详细讨论了一类经典的、更加简单直接的有限体积法求解欧式看跌期权的定价模型，并建立了两种稳定的全离散有限体积元格式。最后用数值实验表明该方法具有非常高的数值精度和计算效率。

1　欧式看跌期权模型

对于欧式看跌期权，边界条件是：终止条件是：

其中，收益函数为：

E代表敲定价格。

2　有限体积格式

边界条件仍为(2)式。

经有限体积元离散， 则半离散有限体积格式(5)对应的矩阵形式为：

其中，

下面考虑方程(3)的全离散有限体积格式。假设时间方向上步长为，则对应如下均匀网格剖分：

或者等价于：

其中，

3　数值实验

下面我们通过数值实验来进行验证。对于离散后的代数系统，均采用超松弛(SOR)迭代法计算，松弛因子取经验值，容许误差为。令模型(1)中参数：

表1　有限体积法与BS定价公式的比较

由表1可知，两种全离散有限体积格式的计算都是精确的，数值结果都随着网格剖分数的增大而变得更加精确，而Crank-Nicolson格式的数值效果要好于隐式欧拉格式。

4　结语

本文考虑了欧式看跌期权定价模型的两种稳定的全离散有限体积格式，采用了超松弛(SOR)迭代法来求解离散后的代数系统。

数值实验的结果表明，我们所构造的有限体积格式在期权定价中是稳定且高效的，而Crank-Nicolson格式的数值效果要优于隐式欧拉格式。由于线性有限体积元法的检验函数空间取为分片常数函数空间，因此其计算量明显少于有限元方法，并具有较高的数值精度，数值实验也验证了这一点，因此该方法是期权定价中的一种很好的数值离散方法。

参考文献

[1] Li R H，Chen Z Y，Wu W．Generalized difference methods for differential equations： Numerical analysis of finite volume methods[M]．New York：Marcel Dekker，2000．

[2] Huang C S，Huang C H，Wang S． A fitted finite volume method for the Valuation of Options on Assets with Stochastic Volatilities[J]．Comput，2006，77(3)．

[3] Zhang K，Wang S．Pricing options under jump diffusion processes with fitted finite volume method[J]．Appl．Mathe．Comput，2008，201(4)．

[4] Zvan R，Forsyth P A，Vetzal K R．Penalty methods for American options with stochastic volatility[J]．J．Comput．Appl．Mathe，1998，91(2)．

[5] 甘小艇，殷俊锋．有限体积法定价美式期权[J]．应用数学与计算数学学报，2014，28(3)．

[6] 甘小艇，殷俊锋．二次有限体积法定价美式期权[J]．计算数学，2015，37(1)．

中图分类号：F224.9

文献标识码：A

文章编号：2096-0298(2015)07(c)-155-03