空气对预应力薄膜结构模态的影响

陈宇峰，陈务军，邱振宇，赵 兵

（上海交通大学 空间结构研究中心，上海200240）

空间薄膜阵面结构重量轻、抗振性好、展开可靠性高且费用低，可以用于制作深空探索太阳帆以及雷达薄膜天线，空间薄膜结构刚度主要取决于边缘几何外形和预应力水平［1-4］.开展薄膜结构自振特性研究可以预测振动形式及预防共振.在数值模拟时通常没有空气，并且在真空罐中测薄膜阵面结构模态成本较高.因此，研究空气附加质量对结构模态的影响可以为薄膜结构模态测试和校验提供分析方法.薄膜结构模态分析与测试仍然是目前的研究热点之一，Xiao等［5-8］对薄膜结构的预应力导入方式及预应力薄膜结构模态影响因素进行了分析和实验.Dowell等［9］利用行波理论推导了有限宽无限长薄板的附加质量.Minami［10］基于势流理论，得出空气密度及模型尺寸与矩形平面薄膜在空气中的附加质量直接相关.Yadykin等［11］总结了附加质量对薄板影响的研究结果，并对流体中平面柔性薄板附加质量影响进行了数值研究，采用薄翼理论（thin aerofoil theory）计算了一个悬臂板面的压力分布，并计算了前10 阶模态的附加质量大小.Li等［12-13］利用真空箱测试薄膜在不同密度空气中的振动特性，研究了薄膜振动的附加质量影响因素和规律，给出了模型附加质量分布模型，根据简化模型可以方便确定模型在不同振型下附加质量取值方式.高海健等［14］研究了薄膜充气管的预应力导入及考虑空气附加质量模态计算.笔者［15］借助ABAQUS软件，探讨了柔性飞艇在无约束状态下单元模型、拼接缝、不均匀质量分布、内外压差、尺寸以及飞艇周围空气附加质量对飞艇主气囊自振特性的影响.目前，采用施加温度载荷的方式导入薄膜结构预应力，并通过理论或实验来确定流体对结构物的附加质量，利用附加质量有限元法考虑流体与结构的耦合模态.利用流固耦合的势流体原理分析空气对预应力薄膜结构模态影响的研究较少.结构在真空状态下的模态称为干膜态，考虑结构周围接触介质影响时的模态称为湿模态.

本研究利用ADINA 软件对在2种不同预应力引入方式下的预应力薄膜结构模态进行研究；在此基础上利用流固耦合的势流体原理，分析空气对预应力薄膜的影响；利用自制的双轴张拉设备开展乙烯-四氟乙烯共聚物（ethylene-tetra-fluoro-ethylene，ETFE）的模态实验，并对数值模拟结果进行验证.

1 薄膜阵面模态分析方法

薄膜预应力水平直接影响预应力薄膜结构的刚度，因此预应力薄膜结构的模态需要考虑预应力的影响.结构自振控制方程为

式中：Μ 为质量矩阵，Κ 为结构总刚度矩阵，Κe为单元刚度矩阵，u为节点振幅向量.

对式（1）进行正则化，可得结构广义特征方程：

式中：ω 为圆频率，φ为特征向量

1.1 薄膜结构干模态分析

图1 薄膜结构模型Fig.1 Structure of planar membrane

首先研究预应力对薄膜结构模态的影响.以如图1所示的模型作为对象，分析不同预应力导入方式对薄膜结构模态的影响.目前，常用的薄膜结构预应力导入方式有2种：方式A——直接对零应力态的薄膜结构模型施加初应力；方式B——通过对薄膜结构施加温度荷载导入预应力.薄膜结构模型材料的密度为1 700kg／m3，弹性模量为810 MPa，泊松比为0.3.对模型四周3个位移自由度都施加约束.对模型进行一步静力分析来查看膜面的预应力是否成功导入，如图2所示.

图2 薄膜导入应力分布Fig.2 Stress distribution of pre-stressed model

采用ADINA 8.7作为分析工具，分析过程如下.

预应力导入方式A：1）建立薄膜结构数值模型，赋予材料性质及截面特性；2）将数值模型划分网格，膜面采用3D 板应力（膜）单元；3）考虑薄膜大变形的几何非线性，直接对薄膜结构单元的膜面赋予初应力，程序自动转换成初应变；4）利用兰索斯法对预应力薄膜结构模态进行数值计算分析.

1）、2）预应力导入方式B：与方式A 完全相同；3）考虑薄膜大变形的几何非线性，对膜面施加温度场荷载并进行一步静力分析；4）最后利用兰索斯法对预应力薄膜结构模态进行数值计算分析.

薄膜结构模型在2种预应力导入方式下的数值分析结果分别如图3及表2所示.图3为薄膜结构振型，表1为薄膜结构频率.可以看出，在2种预应力导入方式下的振型及频率完全一致.

表1 2种预应力导入方式下的模型频率Tab.1 Frequencies of model under two prestress introducing methods Hz

图3 薄膜结构模型前4阶振型图Fig.3 The first four modes of membrane structure model

1.2 空气中薄膜结构模态分析

考虑流体对结构模态影响的理论在船舶、潜艇及水利工程等领域研究较多，由于水的密度大，对这类结构的影响较大.空气对预应力薄膜结构的影响研究还较少.

1.2.1 流固耦合基本原理 设流体是均匀、无黏、无旋的理想流体，仅限于讨论小挠动情况.理想不可压缩流体小扰动的基本方程［10］为

式中：P 表示压力，▽表示拉普拉斯方程.

根据式（4）并利用无限流远边界条件建立流体的有限元方程，结合结构的运动方程，得到附加质量矩阵［16］：

式中：Ms为结构质量矩阵，Madd为流体附加质量矩阵，r为结构位移矢量，Ks为结构刚度矩阵.

1.2.2 数值模型及结果分析 研究空气对预应力ETFE薄膜结构模态的影响.模型与干模态的模型相同，模型有限元模型如图4所示，空气密度取1.293kg／m3.采用方式A 导入预应力并进行模态分析.薄膜结构的空气范围为边长为1.5 m 的立方体，薄膜结构——空气的有限元模型如图5所示.将数值模型划分网格，膜面采用3D 板应力（膜）单元，流体采用线性三维势流体单元模型（3D-Fluid）.为了保证薄膜能与流体协同工作，流体与膜面接触的2个面网格大小相同，节点相对应，通过Face-link使得流体与膜面接触的2个面协同工作；3）考虑薄膜大变形的几何非线性，直接对薄膜结构单元的膜面赋予初应力，程序自动转换成初应变；4）利用兰索斯法对预应力薄膜结构模态进行数值分析.从表2可以看出，空气对预应力薄膜的模态有着显著影响，假定干膜态的频率为基准值，则考虑空气附加质量后，薄膜的自振基频大约减小40%.

图4 薄膜结构有限元模型Fig.4 FEM model of membrane structure

图5 空气有限元模型Fig.5 FEM model of air

表2 薄膜模型频率Tab.2 Frequencies of membrane model

2 薄膜结构模态实验

ETFE薄膜在低应力阶段呈线弹性，各向同性，便于表征薄膜在空气中的振动力学行为，因此选取ETFE张拉薄膜进行膜态实验.首先研制一套双轴张拉的实验装置，通过该实验装置对ETFE 薄膜结构施加预应力.采用不同频率声波对薄膜施加激励，利用Polytec扫描式激光测振仪测振和模态辨识，测量原理是利用激光的多普勒效应.

2.1 双轴拉伸实验装置

薄膜模态测试装置如图6所示，测试实验装置由试件固定钢框架、拉力施加设备以及拉力控制设备等组成.通过拉力施加和控制设备获得不同膜面应力水平的状态.

图6 ETFE薄膜模态测试实验图Fig.6 Image of modal testing for ETFE membrane

2.2 ETFE薄膜试件

实验采用ETFE薄膜的厚度为150.0μm.ETFE薄膜试件定位尺寸为500.0mm×500.0mm，在定位线设置Φ8PE棒，薄膜焊接双向包边绳套，焊缝宽度为10.0mm.试件的四角内切34.5mm 凹角，并设5.0mm半径圆倒角.试件如图7所示.

图7 ETFE薄膜双轴拉伸实验装置Fig.7 Biaxial extension specimen photo of ETFE foil

2.3 实验过程

ETFE薄膜模态实验是一个精细、复杂的过程，主要步骤包括：

1）拉力施加设备的校验标定，实验准备；

2）实验试件安装与固定；

3）膜面预张拉采用先预张紧，然后卸载，并将拉力计调零，张力对称；

4）实验加载使ETFE 膜面获得预应力，按照1∶1比例同步加载；

5）对薄膜结构均匀喷洒银光粉，能使测振仪发射的激光束有效反射，在进行模态测试时，采用声波对薄膜进行激振，用激光测振仪测振和模态辨识，并记录；

6）卸载后，重复张拉，再次采用声波薄膜振动，用激光测振仪测振和模态辨识.

2.3 实验现象与实验数据结果

为了得到均匀的膜面预应力状态，通过3次重复加载，消除非一致性问题；施加荷载，将2个拉力计合力F 转化为应力σ0，合力除以ETFE 薄膜试件有效截面积转化为应力，使薄膜结构达到预定的预应力；利用激光测振仪测试模态.实验的难点在于获取均匀膜面的预应力，由图8 可以看出，数值模拟的薄膜结构振型和测试结果完全一致.如表3所示，假设实验测试的频率为参考值，则ETFE 模型不考虑空气影响时的数值模拟与实验值的误差在50%左右；考虑空气影响时，两者的误差小于10%.由表3可以看出，空气对预应力薄膜的模态有显著影响，因此在分析空气中薄膜结构的模态时，不能忽略空气的作用.

图8 ETFE测试模型的模拟及实验振型Fig.8 The vibration shape of simulation and test for ETFE film

表3 ETFE测试模型的干湿频率误差分析Tab.3 Error analysis of dry and wet modal shape of ETFE test model

3 结 语

对于预应力薄膜结构直接对膜面赋予初应力后提取模态和通过降温法引入预应力计算再提取模态结果是一致的.预应力薄膜模态实验验证了基于势流体原理模拟空气对预应力薄膜模态影响这一数值方法的合理性.空气对预应力薄膜的模态有显著影响，其影响的大小与薄膜材料以及空气密度相关.本研究提出的数值模拟方法对揭示空间柔性预应力薄膜结构的自振特性具有重要参考价值.

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