课例研究：数学教师学科教学知识发展的有效途径

摘 要

课例研究是以课例为载体的合作性教学研究活动形式。数学学科的课例研究不是打造“一节标准的数学课”加以推广，而是解决数学教学实践中的具体问题，是在确定研究主题、合作设计、上课与观课和评课与反思等环节的研究活动中发展数学教师的学科教学知识。

关键词

课例研究 数学教师 学科教学知识 发展

课例研究于20世纪50年代起源于日本，是日本教师开展的合作性教学研究，被称为“授业研究”。[1]随着2005年世界课例研究协会（WALS）的成立，课例研究在世界范围内得到了推广。[2]在我国，受顾泠沅教授2002年领衔上海青浦区开展的课例研究的影响，目前课例研究已经成为我国许多地区教师培训、教研活动的一种形式。数学学科的课例研究，是以数学教学实践中的问题为研究主题，以课例为载体的一种数学教学研究活动形式。研究的最终目的不是打造“一节标准的数学课”加以推广，而是借助大学专家、教研员以及数学教师群体组成的研究团体的力量，解决数学教学实践中的具体问题，增长数学教师的学科教学知识。

一、以结构不良领域问题为研究主题，促进数学教师学科教学知识的增长

以美国Spiro为代表的学者于上世纪八十年代提出了认知弹性理论，它是关于结构不良领域知识的习得和迁移的一种学习理论。该理论认为，知识分为结构良好领域的知识和结构不良领域的知识。[3]知识的产生常常是由问题引发的，因而问题也分为结构良好领域问题和结构不良领域问题。结构良好领域问题可以用已有的经验、方法、策略去解决，而结构不良领域问题采用原有的解决模式、方法无法解决，必须根据具体情境，以原有的知识经验为基础，通过分析、综合，重构解决问题的新方法。

课例研究是以课例为载体的教学研究。教学中充满着各种纷繁复杂的不确定性，如教学目标、教学对象、教学内容、课堂心理环境等的不确定性。因而教学中产生的问题往往没有现成的解决方案，大多数属于结构不良领域问题。以教师群体共同直面的这类问题为研究主题，可以激发教师群体的研究热情，激起教师群体的交流与对话。在专家的引领下，提高教师应对复杂多变教学情境的灵活表征能力，促进学科教学知识的发展。

课例研究中结构不良领域问题常常来源于以下几个方面：第一，成功经验和失败教训中产生的问题。对教学成功的追问、对教学败笔的归因，从而产生有价值的问题。第二，借鉴新的教学改革经验所产生的问题。学习其他地区成功的教学改革经验，思考如何将这些经验本土化。第三，教学理论的实践化问题。将教学理论应用于教学实践所产生的问题。如，如何结合本校学生情况进行有效的数学合作学习。第四，教学资源开发与利用的问题。如，针对从未走出大山的学生难以了解教材中的“摩天轮”“过山车”等城市情境，而提出“数学教学中如何有效利用地方资源”的问题。

基于针对性、价值性、迫切性、代表性等原则，对这些结构不良领域问题筛选，确定研究主题。一个主题解决之后可以就此终结，也可以由此催生新的主题，形成主题链。如，某地区在开展合作学习的教学改革中发现这样的问题：差生在完成导学案时，对组内优生有较强的依赖性。由此确立了课例研究主题：“数学合作学习中如何提高差生完成导学案的积极性”。这个问题解决之后，经过总结、反思，生成新的主题：“如何提高不同年级段的差生在数学合作学习中完成导学案的积极性”，再催生新的主题：“数学合作学习中如何提高差生的积极性”。这些链式的结构不良领域问题的发现与解决过程，是教师的问题意识不断强化、问题解决能力不断增强的过程，更是教师教学知识获得不断发展的过程。

二、在合作设计中促进数学教师学科教学知识的发展

教学设计是教师展开教学的主要依据，也是教师学科教学知识发展水平的集中反映。教学设计涉及对课程标准、教材、学情等的分析。在此基础上以学情为起点，以教育学知识为条件，将数学知识转化为教学活动任务，实现数学知识的“学术形态”向“教育形态”的转化。课例研究中，教学设计是由大学专家、教研员、教师合作设计，团队的合作性打破了个体认识的局限性，开阔了教学视野。

1.在对数学课程标准的合作分析中促进教师“关于课程的知识”的发展

《中小学教师专业发展标准及指导（数学）》中提出了“关于课程的知识”的结果标准：“了解数学新课程改革提出的理念，并实践课程改革中倡导的价值与行为意识”[4]。教师个体常常由于理论知识存在一定的缺位，对课程标准的理解难免停留在浅层水平上。课例研究团队对课程标准的共同分析有助于提高教师对课程标准的深层次理解。

大学专家具有前瞻的学术理念、开阔的学术视野、渊博的理论知识，可以对课程标准中的基本理念、课程目标、核心概念等主要内容作深层解读。教研员是由长期从事一线教学工作的优秀教师“转身”而成，他们积累了丰富的案例知识，并具有一定的理论素养，可以自上而下地将课程标准理论具化为实际教学操作。如，结合丰富的案例知识阐释“四基”中教师比较陌生的后“两基”─“基本活动经验”和“基本思想”，如何在教学实践中具体落实，为教师解决课程标准关于“怎么做”的程序性知识问题，有助于教师积累课程实践性知识。通过专家和教研员的解读，教师从理论上和实践上对课程标准有了深层次理解后，群体讨论如何在课例中将课程理论实践化。可见，对课程标准的共同分析过程实质上是教师的“关于课程的知识”不断得到生长和发展的过程。

2.在对教材的合作分析中促进教师“关于学科的知识”的发展

教师对数学知识的深刻理解是其进行数学教学的一个重要基础。如果教师深刻理解数学知识，准确把握数学本质，就会引导学生对数学问题深入思考，促进学生对数学意义的建构，就会创造更多机会让学生猜想、解释、证明自己的观点，也就更能了解学生解决问题的策略，更能从学生的角度考虑数学知识。[5]在中小学阶段，教材是数学知识的主要载体。课例研究团队的异质人员参与对教材的深入分析，可以促进教师对数学知识的深刻理解。大学教师可以高屋建瓴地指导教材分析，他们可以居高临下地用现代数学观点阐释中小学数学内容知识。尽管中小学数学知识受限于学生的认知水平，不可能像科学数学那样严谨，但作为教师应了解数学知识的逻辑结构，了解诸如公理化方法、现代数学思想、数学的本质等。教研员具有丰富的教学经验，熟悉整套教材的编排体系，可以帮助教师明确教材的编排意图、重点、难点，厘清教材各章节的科学性和思想性，理顺教材中各部分知识之间的逻辑关系，有助于教师对数学知识在深度和广度上的理解，准确把握数学的本质。譬如，在以“乘法的意义”为课例的分析中，授课教师对“乘法初步认识”的初步设计：创设情境让学生列出算式2+2+2，由此引出乘法算式2×3。在合作讨论中，教研员认为，2+2+2与2×3相比，从计算难度到式子长度上，均没有体现“乘法是加法的简便运算”中的关键词“简便”，建议增加情境，列出11个2相加的算式，过长的同数连加算式，将使学生倍感计算麻烦并且容易出错，激起学生探究简便算法的认知冲突，由此引出，自然水到渠成。从授课教师的初步设想中反映出其对乘法意义的理解是浅层次的。通过专家引领、团队讨论，深刻理解了乘法概念的本质。

3.在学情分析中促进数学教师“关于学生的知识”的发展

“关于学生的知识”是学科教学知识的主要构成要素之一。认知心理学家奥苏贝尔曾这样说，假如让我将所有的教育心理学原理还原为一条原理，我将一言蔽之曰：影响学习唯一重要的因素是学生已经知道了什么。要探明这一点，并据此进行教学。可见，学情是教学的逻辑起点，课前必须对学情进行全面深入地分析。对学情的分析，主要关注学生的思想、数学学习、心理特征等方面情况。分析学生的思想状况，就是要深入了解班级整体和学生个体的状况，了解学习动机、学习兴趣，特别要了解差生的学习态度、家庭背景等。了解学生的数学学习情况，主要是了解学生已有的知识经验、现有的能力水平、学习风格、可能出现的学习困难等。了解学生的心理特征，主要是了解学生的思维特征，各学段学生的一般心理特征、思维水平、心理发展中的个别差异等。

对学情的分析主要有如下几条途径：第一，问卷法。把要了解的内容编制成问卷进行调查，应用数理统计方法分析数据。第二，访谈法。访谈法分为课前、课中和课后访谈。课前访谈可以采用半结构式访谈提纲，以优、中、差三个层次的抽样生为访谈对象，访谈过程中可以视情况进行必要的追问。课中访谈，就是根据课堂上学生的生成适时追问，以了解问题产生的原因。课后访谈，就是对课堂上发生的事件、学生的反馈或存疑之处访谈，以获得对其意义的解释。第三，作业分析。对作业中关于基础知识和技能掌握的情况、数学思想方法领会的情况、不同层次学生偏好的解题策略等方面的分析。第四，前测。前测就是编制与本节课知识有关的测试题，以考察学生对本节课相关知识的掌握情况。此外，还有后测、课堂观察等方法。每一种方法都有其优势也不可避免地存在一定局限性。一般提倡多种方法有机结合，以便获取更全面、更真实的信息，丰富教师的“关于学生的知识”。

三、在上课与观课中促进数学教师学科教学知识的发展

根据舒尔曼的学科教学知识的“转化”理论及上海青浦实验研究所的研究[6]，学科教学知识的本质是一种“转化”的教学智能，是教师将学科知识“转化”成学生有效获得的一种教学智能，即教师基于课程理念、课程目标、学生的认知水平等的全面分析和综合考虑，把学科知识有效地“转化”成教学活动任务，又由教学活动任务有效地“转化”为学生的实际获得。因此，有效实现学科教学知识的第二次“转化”，需要“课堂”这一重要场景支撑。

课例研究团体在合作设计完成后，由一名教师执教，其他教师进入课堂观察，这为学科教学知识实现第二次“转化”提供了场域。从上课的视角看，授课教师承担着将团队的预设文本转化为课堂行动的实践任务，不仅要明确教学设计意图、明晰教学操作程序，还要将教学设计个性化。课堂上，一方面按设计实施教学，将文本知识内化为自己所理解的知识进而转化为学生的知识。另一方面，课堂的复杂性和多变性又要求教师具有敏锐的观察力，及时捕捉反馈信息，适时反思，形成应对生成资源的教学策略，灵活调整教学计划。如，以“四边形的认识”为课例的教学中，在探讨“四边形有四条边和四个角”的特征后，为了让学生明确“长方形和正方形的四个角都是直角”这一特殊性，教师用PPT呈现一组多边形：长方形、正方形、任意四边形、梯形、任意五边形、任意六边形，布置“分类”的活动任务。学生经过思考后，形成了多种意见。但所有分类都没有达到预设目标。教师适时反思，灵活调整计划，引导学生回到板书（四边形有四条边和四个角）：刚才同学们是按什么来分类的？还可以按什么来分类呢？很快，目标得以达成。而授课教师的教学知识也正是在遵照预设和应对生成中得到了发展。

观课活动是将课堂解构为若干维度，每个维度又分解为若干观察点，无论是新手教师还是有经验教师，都可以根据自己教学知识发展的需要来选择适合的观察点，有针对性地观察。“以学论教，以教促学”的课例研究理念，要求观课活动既要观察教师，也要观察学生。对教师的观察主要关注以下几个方面：其一，提问与理答。教师的提问方式是否科学，候答时机把握是否恰当，是否善于倾听等。其二，教学表征。教师对数学知识的表征是否多元化，表征是否突出数学知识的本质属性而避免非本质属性的干扰，表征是否符合学生的认知特点，对表征方式的选取是费力、顺畅抑或达到自动化程度。[7]其三，调控与评价。能否根据课堂情境灵活地调整教学，能否在灵活变通中顺利实现教学目标；评价是否有利于促进学生深层次思维或发散性思维，是否有利于激发学生的学习积极性，是否关照不同层面学生的心理需求等。对学生的观察主要围绕以下几个方面：一是认知基础。学生已有的知识是否扎实，对已有信息的提取是否顺畅，是否能将数学知识与生活经验建立联系。二是思维状态。是否善于发现问题和提出问题，是否敢于质疑，表达是否条理清晰。三是合作情况。是否善于倾听，是否鼓励同伴参与，是否乐于协助同伴。四是情感与态度。是否专心听讲，是否认真完成活动任务，是否获得愉快的情感体验等。

事实上，教师的教与学生的学是教学过程的两个方面，观察教必然会涉及学，观察学也必然会涉及教，两者无法截然分开。通过对教的观察，目的是“以教促学”；通过对学的观察，目的是“以学改教”。无论是“促学”还是“改教”，都可以促进教师的教学知识发展。

四、在评课与反思中发展数学教师学科教学的知识

教师的学科教学知识是关于如何教的知识，是在对课堂实践经验的反思与交流中不断丰富的。课例研究中的评课与反思活动为教师回顾、总结、评价、反思课堂经验提供交流平台，为经验分享上升到理性认识，进而升华为教学知识提供契机。

课例研究中的评课活动是基于理解的评价取向，以解决教学实践问题为过程目标，以丰富教学知识为结果目标。在这样的评价取向和目标导向上，评课的环境自然是宽松、和谐的。参与教师敢于敞开心扉，乐于分享自己的所见、所思、所感和所悟。在交流、切磋和碰撞中教师个体的隐性知识得以不断显性化，成为共享性知识。在评课反思活动中，授课者主要从教学预设与生成的差距维度阐述自己的体悟与反思。授课者的这些体悟与反思能激起群体交流、讨论，交流、讨论的过程就是教师对教学重新认知的过程，是对自己的知识重组的过程，也是教学知识得以生长和发展的过程。

观课教师的评价是基于课堂观察的量化和质化信息驱动的。观课教师可以根据观察点，对量化观察所收集到的数据，通过数理统计方法处理和分析，利用统计图呈现结果，进行统计推断。也可以对质性观察所收集到的资料进行深入细致分析，“再现其本质，从而为处于类似的情景的人和事起到一种关照作用，通过认同而得到推广”[8]。还可以对课堂捕捉到的教学事件与大家分享，将事件中隐含的困惑求教于专家、同行，在专家、同行的理论与实践对话中，对问题产生新的认知，找到结症，获得问题解决的策略。

如，以“单项式”为课例的教学事件。

在概念强化环节，教师出示若干单项式让学生辨别“次数”和“系数”。

师：“2x的次数是多少？谁来说说？”

师：“请S生回答。”

S生：“是2！”（班上发出嘲笑声，老师似乎听而不闻，请同桌帮助S生回答。）

师：“你会了吗？”

生：“会了。”

师：“好！那老师再给你一次机会，-x的次数是多少？”

生：“-1！”（班上发出的嘲笑声更大，S生脸红了，教师依然听而不闻，又请同桌帮助其回答。）

师：“你会了吗？”

S生：“会了。”

师：“老师再给你一次机会，你敢挑战吗？”

S生：“敢。”（声音有些微弱。）

师：“xy2的次数是多少？”

S生：“是2。”（不太自信，全班爆笑！）

老师再请同桌帮助……

这样，持续了几个轮回，S生始终没能独立正确回答任何一道题。教师终于“饶”了他，示意其坐下。S生一坐下，马上抽泣起来。渐渐地，抽泣声越来越大……

将错答问题转嫁给其他同学，是许多教师常用的理答方式。在本案例中，为何S生连续回答几个同类问题都出错？该生太笨？启而不发还是根本没有启发？“手脚架”没有搭好？……一系列假设被提出。在专家的启发引导下，教师群体通过反思，发现是“单项式概念很简单，读一读，解释解释，学生就可以理解。”这一教学信念驱使教师采用单一的教学表征，而没有深究学生出错的原因，并采取有效的表征帮助学生理解。这种“习以为常”的教学行为及其背后所隐含的教学理念，在专家的点拨下教师得以反思和重新认知，在反思过程中教学知识产生了新的重组，生成了新的知识。

课例研究活动中，围绕研究主题，以课例为载体，通过专家引领、群体智慧碰撞，教师个体隐性知识不断显化，教师群体将这些显化的知识运用于自身的教学实践，不断生成新的隐性教学知识。教师的教学知识就是在这种显性和隐性的相互转化过程中不断生成与发展的。

参考文献

[1] 安桂清.课例研究：信念、行动与保障[J].全球教育展望，2007（3）.

[2] 安桂清.以学为中心的课例研究[J].教师教育研究，2013（3）.

[3] 毛齐明.认知弹性理论及其对教师培训的启示[J].外国教育研究，2006，（10）.

[4] 中小学教师专业发展标准及指导课题组.中小学教师专业发展标准及指导（数学）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[5] 李琼，倪玉，萧宁波.小学数学教师的学科教学知识：表现特点及其关系的研究[J].教育学报，2006（4）.

[6] 上海市青浦实验研究所.小学数学新手和专家教师PCK比较的个案研究—青浦实验的新世纪行动之四[J].上海教育科研，2007（10）.

[7] 童莉.舒尔曼知识转化理论对教师知识发展的启示[J].上海教育科研，2008（3）.

[8] 陈向明.定性研究方法评介[J].教育研究与实验，1996（4）.

[作者：肖春梅（1968-），女，广西东兰人，河池学院数学与统计学院副教授。]

【责任编辑 陈国庆】