相互独立事件的设计与反思

刘娟

近年来高师生（五年制高等师范学校的学生）的文化素质普遍下降，他们对数学的兴趣尤为淡薄，主要表现为：学习被动，参与水平低，上课无精打采，厌倦作业，害怕考试，缺乏自信，解题时思路不清，缺乏独立思考和钻研的能力，对教师有抵触情绪，毫无合作精神. 对不少学生来说，学习就意味着每天准时到校，坐在教室里听他们不理解也不感兴趣的事情. 每天的日程就是上课、完成作业、努力记住一大堆零零碎碎的知识并操练一些趣味索然的题目. 老师也经常抱怨现在的学生基础和接受能力太差，课堂沉闷. 为了试着改变这种状况，2014年12月，笔者上了一节校内公开课，内容是“相互独立事件”，选自南京大学出版社五年制高等师范教材. 本文围绕这节课的设计过程及教学反思过程，谈谈五年制高等师范学校的数学课教学的几点体会.

一、教学设计

第一阶段：经历概念的形成过程

环节1：复习旧知，提出问题

问题1：甲袋中6白4黑，乙袋中3白5黑，从甲、乙两袋中分别取一球，记“从甲袋中取一球，得到白球”为事件A，“从乙袋中取一球，得到白球”为事件B，

问：A、B是否互斥？对立？为什么？

在上节课学习互斥事件和对立事件之后，提出这个问题，符合学生的“最近发展区”，容易引发认知冲突，从而引出课题，

环节2：实例分析，建构新知

结合问题1，师生共同讨论分析，得出相互独立事件的特点，给出相互独立的概念.

环节3：讨论交流，理解新知

1. 结合你所感兴趣的问题，试举例说明什么叫做两个事件相互独立.

2. 互斥事件和相互独立事件有何区别？

3. 甲袋中6白4黑，乙袋中3白5黑，从甲、乙两袋中分别取一球，记“甲袋中取得一球，得到白球”为事件A，“乙袋中取得一球，得到白球”为事件B，则■是 ，是 .

问：A与■、■与B、■与■是否为相互独立事件，为什么？

这一环节我是这样处理的，让学生分组讨论，明确讨论时间、要求，分组汇报，本以为第一个问题学生回答不出来，但是出乎意料的是，有一组同学举出了这样的例子：某一次活动需要2名男生，从1203班7名男生中选出2名和从124班的7名男生中选出2名是相互独立事件，得到听课老师的认可与表扬.

第二阶段：大胆猜想，得出公式

问题2：甲袋中6白4黑，乙袋中3白5黑，从甲、乙两袋中分别摸出一球，假设每个球被摸到的可能性相等，问：

（1）从甲袋中摸出一球，得到白球的概率是多少？

（2）从乙袋中摸出一球，得到白球的概率是多少？

（3）从两袋中分别摸出一球，它们都是白球的概率是多少？

这一环节的重点是得出相互独立事件的概率计算公式，书上处理的很简单，实际上这是本节课的一个重点也是难点，考虑到学生的实际情况我增加了（1）（2）两问，从简单的、学生熟悉的情形入手，减少知识的跨度，最大限度的降低学生对抽象的数学知识的恐惧心理，循序渐进的得出新知，在此基础上引导学生大胆猜想得出一般情形的相互独立事件的概率计算公式P（AB） = P（A）P（B），考虑到师范生的实际情况，证明不做要求.

第三阶段 应用新知，加强理解

1. 数学应用

例1.甲、乙2人各进行一次射击，如果2人击中目标的概率都是0.6，且相互之间没有影响，计算：

（1）2人都击中目标的概率；

（2）恰有1人击中目标的概率；

（3）至少有一人击中目标的概率.

2. 在语文中的应用

三个臭皮匠挑战诸葛亮，看到底谁是英雄，臭皮匠老大解决问题的概率为0.5，老二解决问题的概率为0.45，老三解决问题的概率为0.4，且每个人必须独立解题，

问：

（1）此问题不能被解出的概率是多少？（2）此问题被解出的概率是多少？

（3）已知诸葛亮解出问题的概率是0.8，请你结合此题解释“三个臭皮匠顶个诸葛亮”.

3. 与专业知识的对接

请你用今天所学知识解释小学课本中跳房子时经常用的“剪刀、石头、布来决定谁先跳”这种做法的公平性

4. 巩固练习

（1）书本第74页第2题

（2）用三台机床制造某一机器的三种部件，废品率分别为0.03，0.05，0.02，三种部件中各取1件来检验，求这3件都是合格品的概率.

这一环节的设计可以说是本节课的一大亮点，亮点一，书上的例1太简单，不能凸显例题的价值，例2过于复杂不符合学生的实际，笔者本着“用教材，而不是教教材”的意识，选用通俗易懂又比较典型“射击问题”作为本节课的例题，例题中的三个问题也涵盖了概率里最典型的关键词“都”“恰”“至少”，可惜的是笔者在实际上课的时候忙于完成教学任务，没能充分分析例题的潜在价值. 亮点之二，注重与生活相联系，从数学上解释了“三个臭皮匠顶个诸葛亮”，让不少学生叹为观止. 亮点之三，针对我校是五年制师范学校，是未来的小学教师，专门设计了一道小学数学题“请你用今天所学知识解释小学课本中跳房子时经常用的‘剪刀、石头、布来决定谁先跳这种做法的公平性”，提前感受本节课知识在小学中的应用，增强学习的目的性.

第四阶段 反思小结，布置作业

1. 自主小結：撰写反思心语，班内交流

2. 课后作业：根据“三人行，必有我师焉”的由来，请你将其转化成一道数学问题，并用今天所学的概率知识给出科学的解释.

二、 反思与体会

1. 分解问题，渗透数学思想方法

新课程倡导教师“用教材”，而不是简单的“教教材”，教师要理解教材，在使用教材的过程中要体现自己的智慧和思维，以最适合学生能力水平和思维发展的形式呈现给学生. 本课的教学中，考虑到学生的实际情况笔者将书上的问题情景“甲袋中6白4黑，乙袋中3白5黑，从甲、乙两袋中分别取一球，它们都是白球的概率是多少？”中的事件A记为“从甲袋中取一球，得到白球”，事件B记为“从乙袋中取一球，得到白球”，先判断事件A与事件B的关系再判断A与■、■与B、■与■的关系，在弄清楚事件A、B之间关系的基础上求事件A、B及AB的概率，更有利于学生知识的模块化，激发学生求知的欲望这样设计既依托于课本，又符合学生的认知水平，有效降低了学生的难度，拓展知识的深度. 不仅如此，这里还蕴含了由特殊到一般数学思想方法和将未知转化为已知解决问题的策略. 米山国藏说“在学校学的数学知识，毕业后若没什么机会去用，一两年后，很快就忘掉了. 然而，不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻在心中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点等，却随时随地发生作用，使他们终生受益. ”这也正是师范学校的数学课所应该追求的.

2. 用好例题，追求适合学生的教学难度

对例题和练习也做了适当的调整，前面已经说明，这里不再赘述. 虽然这是本节课的一处败笔，但课后笔者认真思考了例題选取及教学的注意事项，例题的选取背景最好是学生感兴趣的材料而且是学生易于理解不容易发生分歧的内容，分析例题时学生能说能做的老师绝不代劳，但是针对基础比较差的师范生有必要引导学生总结解题步骤及注意事项，使得所学知识程序化、模块化，降低学习难度.

3. 学科整合，彰显数学的文化价值

“三个臭皮匠顶个诸葛亮”是大家都很熟悉的一句谚语，但是很少有人从数学的角度去思考他的实际意义. 本节课不但从数学的角度量化了这个问题，验证了此谚语的真假，还告诉了大家要相信团队的力量，不要盲目的羡慕别人的聪明才智，学会合作. 表面上看此题与本节课的知识无关，实际上拉近了学生与数学的距离，提醒学生要善于用数学的眼光看周围的事物，想身边的事情，拓展数学的学习领域，既培养了学生的情感意志，又切实提高了能力. 还从另一个方面渗透了德育，切身感受到团队的力量，明白了做人的法则. 这已经远远超出了会一道题的功能. 笔者认为这样的资源应该是我们每个数学老师重点挖掘的对象.

4. 知识对接，重视专业知识的积累

随着素质教育的不断推进和基础教育课程改革的不断深入，小学教育在整个教育过程中的奠基地位越来越明确，小学数学教育呼唤高素质的数学教师，而师范学校是培养小学数学教师的摇篮，有责任有义务为社会培养出合格的小学数学教师. 所以在平时的教学中应关注社会对师范生的要求，将数学知识与专业课程知识有机地结合，体现为专业学习服务的功能. 本节课结尾笔者让学生同本节课的知识来解释“跳房子时常常用的剪刀石头布的游戏的公平性”，这样做不仅使学生体验数学在解决实际问题中的作用，而且使学生所学知识对将来工作的指导作用，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力和学习兴趣.

总之，新课标要求教师要有课程意识、学生意识、开放意识、问题意识，作为一线的教育者一定要从传统的数学教学模式中跳出来，重新认识师范学校数学课程目标，不仅要思考怎么教，还要思考教什么. 在创新上狠下工夫，努力学习先进的教育理论和教学技术，完善和调整自己的知识结构，深入领会数学教学的本质，降低学习难度，激发学习兴趣，改变教师角色，加强对学生的数学学习状况的调查，经常反思自己的课堂教学，提高自己的教学水平.

【参考文献】

[1]王新骇.《一堂数学评优课的自我反思》，《中学数学教学通讯》[J]. 西南大学数学与财经学院，2006.1，第15页.

[2]章飞.《数学》[M].南京大学出版社，2011.6，第71页.

[3]李益峰.《“数”山有路“趣”为径》，《数学通报》[J].北京师范大学，2007.11.