一类具阶段结构的Beddington－DeAngelis型捕食模型解的全局稳定性

潘 敏，葛 静，张群英＊

（1．扬州大学数学科学学院，江苏 扬州225002；2．泰州职业技术学院基础科学部，江苏 泰州225300）

近年来，不同功能反应的捕食模型引起了广泛关注［1－2］．考虑到生物种群的迁移现象，很多学者致力于研究带有扩散项的捕食－被捕食模型［3－4］，其中对Beddington－DeAngelis（BD）型捕食－被捕食扩散模型的研究已有较多理论结果［5－7］．本文将讨论一类具阶段结构和时滞的BD 型捕食－被捕食反应扩散系统的子系统平衡解的全局稳定性，并对其进行数值模拟，验证相关结论．

1 模型及相关引理

本文主要研究如下具阶段结构的BD 型捕食－被捕食反应扩散系统：

其中u1，u2分别表示被捕食者为幼年种群和成年种群的种群密度，u3表示捕食者的种群密度；正常数Di（i＝1，2，3）表示第i个种群的扩散系数；b表示成年被捕食者的出生率；d1表示幼年捕食者的死亡率；Ω 为Rn中具有光滑边界的有界区域；η 表示边界∂Ω 上的单位外法向量；齐次Neumann边界条件∂ui／∂η＝0表示上述系统在边界上没有种群迁移；初值函数φi（x，t）在¯Ω×（－τ，0］上非负且Hölder连续，并在∂Ω 上满足相应的相容性条件∂φi／∂η＝0（i＝1，2，3）；τ表示幼年被捕食者成熟所经过的时间；e－d1τ表示每一个幼年捕食者在成熟之前的存活率；mu2u3／（1＋k1u2＋k2u3）为BD 响应函数，式中k1为捕食率，k2为捕食者之间的相互影响率；n为捕食者摄取食物转化为能量的转化率；d 为捕食者的死亡率；以上这些参数均为正常数．为方便讨论，令r＝be－d1τ，K＝be－d1τ／a，α＝m，β＝ned1τ．因幼年种群的密度取决于成年种群的密度，故考虑该系统的子系统

显然，该子系统（1）有平凡解E0＝（0，0）；半平凡解E1＝（K，0）；且当（αβe－d1τK）（1＋k1K）－1＞d 时，子系统（1）有正平衡解E2＝（u2＊，u3＊），其中式中为证明子系统（1）半平凡解E1＝（K，0）和正平衡解E2＝（u2＊，u3＊）的全局稳定性，下面先给出4个引理．

引理1 若u∈C（¯Ω×［0，＋∞））∩C2（Ω×（0，＋∞））是标量问题

的一个非负非平凡解，其中A1≥0，A2，B，τ＞0，则i）当B±A1＞0，且t→＋∞时，u→（B±A1）／A2在上一致成立；ii）当B±A1≤0且t→＋∞时，u→0在¯Ω 上一致成立．

引理2设v∈C（¯Ω×［0，＋∞））∩C2（Ω×（0，＋∞））是标量问题

的一个非负非平凡解，其中所有参数均为正值，i）若（αβe－d1τ－dk1）M－d＞0，则当t→＋∞时，v→［（αβe－d1τ－dk1）M－d］／k2d 在上一致成立；ii）若（αβe－d1τ－dk1）M－d≤0，则当t→＋∞时，v→0在上一致成立．

引理3设w∈C（¯Ω×［0，＋∞））∩C2（Ω×（0，＋∞））是标量问题

的一个非负非平凡解，其中所有参数均为正值，且r＞αu0（1＋k2u0）－1，则当t→＋∞时，w→w＊在¯Ω上一致成立，这里

引理4子系统（1）的平衡解均一致有界．

证明 易证子系统（1）在初始条件非负的情况下其解一定为正．由子系统（1）的第1个方程有

考虑方程组

由比较原理知w2（x，t）≥u2（x，t）＞0，（x，t）∈¯Ω×［0，＋∞）．再根据文献［8］中定理2得w2（x，t）有界，从而u2（x，t）一致有界，即存在M＞K，T1＞0，使得u2（x，t）＜M，（x，t）∈¯Ω×［T1，＋∞）．将u2（x，t）＜M代入子系统（1）的第2个方程，有由引理2和比较原理知，若N＝［（αβe－d1τ－dk1）M－d］k2－1d－1＞0，则对任意小ε＞0，存在T2＞T1，使得u3＜N＋ε，（x，t）∈Ω×［T2，＋∞），即u3（x，t）一致有界，证毕．

2 全局稳定性

首先，讨论子系统（1）半平凡解E1＝（K，0）的全局稳定性．

定理1当αβe－d1τK／（1＋k1K）≤d 时，limt→＋∞（u2（x，t），u3（x，t））＝（K，0）．

证明 先讨论当αβe－d1τK／（1＋k1K）＜d 时半平凡解的稳定性．显然，存在充分小的ε＞0，使得αβe－d1τ（K＋ε）／［1＋k1（K＋ε）］＜d 成立．由引理1 及方程（2）知limt→＋∞w2（x，t）＝K，则对任意ε，存在Tε＞0，使得w2（x，t）＜K＋ε．再由比较原理知u2（x，t）≤w2（x，t）＜K＋ε，（x，t）∈¯Ω×［Tε，＋∞）．将上式代入子系统（1）的第2个方程，得

由引理2和比较原理知limt→＋∞u3（x，t）＝0，因此，对任意0＜δ＜r，存在Tδ＞0，使得αu3／（1＋k1u2＋k2u3）＜δ成立，其中（x，t）∈¯Ω×［Tδ，＋∞）．于是由子系统（1）的第1个方程，有ru2（x，t－τ）－δu3－ru22／K＜u2t－D2Δu2＜ru2（x，t－τ）－ru22／K．再由引理1和比较原理，得limt→＋∞u2（x，t）＝K．

其次，当αβe－d1τK／（1＋k1K）＝d 时，类似于文献［9］中定理3．1的情形二，可证得limt→＋∞（u2（x，t），u3（x，t））＝（K，0）．定理得证．

然后，利用上下解［10］及迭代方法证明正平衡解E2＝（u＊2，u＊3）的全局稳定性．

定理2若子系统（1）满足条件

则正平衡解E2全局吸引．

证明 考虑子系统（1）的第1 个方程，根据比较原理和引理1，并注意到条件αβe－d1τK／（1＋k1K）＞d，知对任意小的ε＞0，存在T1＞0，使得再将其代入子系统（1）的第2个方程，有u3t－D3Δu3≤［αβe－d1τ¯u21／（1＋k1¯u21＋k2u3）－d］u3，（x，t）∈Ω×［T1，＋∞）．令引理2中的M＝¯u21，可得limt→＋∞v（x，t）＝［（αβe－d1τ－dk1）¯u21－d］k－12 d－1＞0．由比较原理知，u3（x，t）≤v（x，t），（x，t）∈Ω×［T1，＋∞），即对任意小的ε＞0，存在T2＞T1，使得

将式（4）代入子系统（1）的第1个方程，得

由引理3和比较原理知对任意小的ε＞0，存在T3＞T2，使得

同理可得，对任意小的ε＞0，存在T4＞T3，使得

由条件（3），引理3及比较原理知对任意小的ε＞0，存在T5＞T4，使得

同理可得，对任意小的ε＞0，存在T6＞T5，使得

又因

注1若将条件（3）中的r，K，α，β还原为子系统（1）的系数，则得等价条件

由此可见，时滞τ越大，条件（12）越不易满足，故引入阶段结构和时滞对生态系统的持续生存将带来负面影响；而式（12）与扩散系数无关，即引入扩散项未对种群的持续生存和灭绝产生明显影响．

3 数值模拟

利用Matlab软件对所得结果进行数值模拟．先考虑半平凡解E1，选取初始函数u2（x，t）＝0．367 9＋0．05cos 2x，u3（x，t）＝0．5＋0．1cos 2x，参数D2＝2，D3＝1，a＝1，b＝1，d1＝1，τ＝1，m＝1，n＝0．5，k1＝0．6，k2＝1，d＝2．此时子系统（1）有唯一的半平凡解E1（0．367 9，0）．可绘制出子系统（1）的模拟曲面，见图1．由图1可观察到，当t→＋∞时，u2（x，t）→0．367 9，u3（x，t）→0，这与定理1的理论结果一致．

图1 半平凡解E1 的全局稳定性Fig．1 Global stability of boundary equilibriumE1

再考虑正平衡解E2，选取初始函数u2（x，t）＝0．333 2＋0．05cos 2x，u3（x，t）＝0．136＋0．1cos 2x，参数D2＝0．04，D3＝1，a＝1，b＝1，d1＝1，τ＝1，m＝1，n＝2，k1＝0．6，k2＝20，d＝0．17．此时子系统（1）有唯一的正平衡解E2（0．333 2，0．136）．可绘制出子系统（1）的模拟曲面，见图2．由图2可观察到，当t→＋∞时，u2（x，t）→0．333 2，u3（x，t）→0．136，这与定理2的理论结果一致．

图2 正平衡解E2 的全局稳定性Fig．2 Global stability of positive equilibriumE2

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