一类具阶段结构的Beddington-DeAngelis型捕食模型解的全局稳定性

2015-07-06 09:44张群英
关键词:捕食者全局子系统

潘 敏,葛 静,张群英*

(1.扬州大学数学科学学院,江苏 扬州225002;2.泰州职业技术学院基础科学部,江苏 泰州225300)

近年来,不同功能反应的捕食模型引起了广泛关注[1-2].考虑到生物种群的迁移现象,很多学者致力于研究带有扩散项的捕食-被捕食模型[3-4],其中对Beddington-DeAngelis(BD)型捕食-被捕食扩散模型的研究已有较多理论结果[5-7].本文将讨论一类具阶段结构和时滞的BD 型捕食-被捕食反应扩散系统的子系统平衡解的全局稳定性,并对其进行数值模拟,验证相关结论.

1 模型及相关引理

本文主要研究如下具阶段结构的BD 型捕食-被捕食反应扩散系统:

其中u1,u2分别表示被捕食者为幼年种群和成年种群的种群密度,u3表示捕食者的种群密度;正常数Di(i=1,2,3)表示第i个种群的扩散系数;b表示成年被捕食者的出生率;d1表示幼年捕食者的死亡率;Ω 为Rn中具有光滑边界的有界区域;η 表示边界∂Ω 上的单位外法向量;齐次Neumann边界条件∂ui/∂η=0表示上述系统在边界上没有种群迁移;初值函数φi(x,t)在¯Ω×(-τ,0]上非负且Hölder连续,并在∂Ω 上满足相应的相容性条件∂φi/∂η=0(i=1,2,3);τ表示幼年被捕食者成熟所经过的时间;e-d1τ表示每一个幼年捕食者在成熟之前的存活率;mu2u3/(1+k1u2+k2u3)为BD 响应函数,式中k1为捕食率,k2为捕食者之间的相互影响率;n为捕食者摄取食物转化为能量的转化率;d 为捕食者的死亡率;以上这些参数均为正常数.为方便讨论,令r=be-d1τ,K=be-d1τ/a,α=m,β=ned1τ.因幼年种群的密度取决于成年种群的密度,故考虑该系统的子系统

显然,该子系统(1)有平凡解E0=(0,0);半平凡解E1=(K,0);且当(αβe-d1τK)(1+k1K)-1>d 时,子系统(1)有正平衡解E2=(u2*,u3*),其中式中为证明子系统(1)半平凡解E1=(K,0)和正平衡解E2=(u2*,u3*)的全局稳定性,下面先给出4个引理.

引理1 若u∈C(¯Ω×[0,+∞))∩C2(Ω×(0,+∞))是标量问题

的一个非负非平凡解,其中A1≥0,A2,B,τ>0,则i)当B±A1>0,且t→+∞时,u→(B±A1)/A2在上一致成立;ii)当B±A1≤0且t→+∞时,u→0在¯Ω 上一致成立.

引理2设v∈C(¯Ω×[0,+∞))∩C2(Ω×(0,+∞))是标量问题

的一个非负非平凡解,其中所有参数均为正值,i)若(αβe-d1τ-dk1)M-d>0,则当t→+∞时,v→[(αβe-d1τ-dk1)M-d]/k2d 在上一致成立;ii)若(αβe-d1τ-dk1)M-d≤0,则当t→+∞时,v→0在上一致成立.

引理3设w∈C(¯Ω×[0,+∞))∩C2(Ω×(0,+∞))是标量问题

的一个非负非平凡解,其中所有参数均为正值,且r>αu0(1+k2u0)-1,则当t→+∞时,w→w*在¯Ω上一致成立,这里

引理4子系统(1)的平衡解均一致有界.

证明 易证子系统(1)在初始条件非负的情况下其解一定为正.由子系统(1)的第1个方程有

考虑方程组

由比较原理知w2(x,t)≥u2(x,t)>0,(x,t)∈¯Ω×[0,+∞).再根据文献[8]中定理2得w2(x,t)有界,从而u2(x,t)一致有界,即存在M>K,T1>0,使得u2(x,t)<M,(x,t)∈¯Ω×[T1,+∞).将u2(x,t)<M代入子系统(1)的第2个方程,有由引理2和比较原理知,若N=[(αβe-d1τ-dk1)M-d]k2-1d-1>0,则对任意小ε>0,存在T2>T1,使得u3<N+ε,(x,t)∈Ω×[T2,+∞),即u3(x,t)一致有界,证毕.

2 全局稳定性

首先,讨论子系统(1)半平凡解E1=(K,0)的全局稳定性.

定理1当αβe-d1τK/(1+k1K)≤d 时,limt→+∞(u2(x,t),u3(x,t))=(K,0).

证明 先讨论当αβe-d1τK/(1+k1K)<d 时半平凡解的稳定性.显然,存在充分小的ε>0,使得αβe-d1τ(K+ε)/[1+k1(K+ε)]<d 成立.由引理1 及方程(2)知limt→+∞w2(x,t)=K,则对任意ε,存在Tε>0,使得w2(x,t)<K+ε.再由比较原理知u2(x,t)≤w2(x,t)<K+ε,(x,t)∈¯Ω×[Tε,+∞).将上式代入子系统(1)的第2个方程,得

由引理2和比较原理知limt→+∞u3(x,t)=0,因此,对任意0<δ<r,存在Tδ>0,使得αu3/(1+k1u2+k2u3)<δ成立,其中(x,t)∈¯Ω×[Tδ,+∞).于是由子系统(1)的第1个方程,有ru2(x,t-τ)-δu3-ru22/K<u2t-D2Δu2<ru2(x,t-τ)-ru22/K.再由引理1和比较原理,得limt→+∞u2(x,t)=K.

其次,当αβe-d1τK/(1+k1K)=d 时,类似于文献[9]中定理3.1的情形二,可证得limt→+∞(u2(x,t),u3(x,t))=(K,0).定理得证.

然后,利用上下解[10]及迭代方法证明正平衡解E2=(u*2,u*3)的全局稳定性.

定理2若子系统(1)满足条件

则正平衡解E2全局吸引.

证明 考虑子系统(1)的第1 个方程,根据比较原理和引理1,并注意到条件αβe-d1τK/(1+k1K)>d,知对任意小的ε>0,存在T1>0,使得再将其代入子系统(1)的第2个方程,有u3t-D3Δu3≤[αβe-d1τ¯u21/(1+k1¯u21+k2u3)-d]u3,(x,t)∈Ω×[T1,+∞).令引理2中的M=¯u21,可得limt→+∞v(x,t)=[(αβe-d1τ-dk1)¯u21-d]k-12 d-1>0.由比较原理知,u3(x,t)≤v(x,t),(x,t)∈Ω×[T1,+∞),即对任意小的ε>0,存在T2>T1,使得

将式(4)代入子系统(1)的第1个方程,得

由引理3和比较原理知对任意小的ε>0,存在T3>T2,使得

同理可得,对任意小的ε>0,存在T4>T3,使得

由条件(3),引理3及比较原理知对任意小的ε>0,存在T5>T4,使得

同理可得,对任意小的ε>0,存在T6>T5,使得

又因

注1若将条件(3)中的r,K,α,β还原为子系统(1)的系数,则得等价条件

由此可见,时滞τ越大,条件(12)越不易满足,故引入阶段结构和时滞对生态系统的持续生存将带来负面影响;而式(12)与扩散系数无关,即引入扩散项未对种群的持续生存和灭绝产生明显影响.

3 数值模拟

利用Matlab软件对所得结果进行数值模拟.先考虑半平凡解E1,选取初始函数u2(x,t)=0.367 9+0.05cos 2x,u3(x,t)=0.5+0.1cos 2x,参数D2=2,D3=1,a=1,b=1,d1=1,τ=1,m=1,n=0.5,k1=0.6,k2=1,d=2.此时子系统(1)有唯一的半平凡解E1(0.367 9,0).可绘制出子系统(1)的模拟曲面,见图1.由图1可观察到,当t→+∞时,u2(x,t)→0.367 9,u3(x,t)→0,这与定理1的理论结果一致.

图1 半平凡解E1 的全局稳定性Fig.1 Global stability of boundary equilibriumE1

再考虑正平衡解E2,选取初始函数u2(x,t)=0.333 2+0.05cos 2x,u3(x,t)=0.136+0.1cos 2x,参数D2=0.04,D3=1,a=1,b=1,d1=1,τ=1,m=1,n=2,k1=0.6,k2=20,d=0.17.此时子系统(1)有唯一的正平衡解E2(0.333 2,0.136).可绘制出子系统(1)的模拟曲面,见图2.由图2可观察到,当t→+∞时,u2(x,t)→0.333 2,u3(x,t)→0.136,这与定理2的理论结果一致.

图2 正平衡解E2 的全局稳定性Fig.2 Global stability of positive equilibriumE2

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