0.9到底等于1还是约等于1

到底等于1还是约等于1？这一问题虽小，但一直是大家广为争论的问题之一，笔者从教学实践中发现：不少同学对无限循环小数可以转化为整数或分数，它属于有理数范畴这一概念只知其然，不知其所以然。为此，笔者就以此小问题略加议之。

≈1吗？请先看下面几种解法。

解法一

设X== 0.999······ （1）

则10X=9.99······=9+0.99······

=9+ （2）

（2）-（1）得 9X=9，

则X=1，即=1。

解法二

=0.999······=0.9+0.09+0.009+······=······==1。

解法三

我们考察无穷数列0.9，0.99，0.999···，1-，······

显然，，即=1

事实胜于雄辩，=1而决不会是约等于1！然而，在教学实践中发现，相当多的初学者却总认为≈1，其理由之一是这个数可以相当与1接近，但是永远不会达到1，因此≈1。

学生的错觉是难免的，关键是要求教学者对此引起足够重视，认真分析引起错觉的主要原因，积极提出改进教学的方法，一起彻底纠正错觉。

分析产生错觉的主要原因有两条：

对无限循环小数的概念缺乏本质的认识。凡无限循环小数均属有理数范畴，总可化为有理数或分数形式。解法1就是一例，用同样方法可以得到0.2=

设0.0=x，则1000x=31+10x，

X=，0.2=0.2+x=0.2+=

无限循环小数是整数或分数的另一表达形式是确定无疑了。它与无限不循环小数是有着本质的区别（），前者属于有理数范畴，而后者属于无理数范畴。

对数列（尤其是无穷数列）的项与数列的极限混为一谈。

解法二与解法三都是用求无穷数列的极限的方法而解得=1的，也即这个数，我们可以认为无穷数列0.9，0.99，0.999，...的极限，而绝不是这个数列中的任何一项。在该数列中的任何一项，都绝不会等于这个数列的极限1（当然也有的数列的极限就是该数列中的某一項，例常数列）。

因此，通过是等于1还是约等于1的议论，使学生进一步理解无限循环小数的实质含义。

作者简介：江文元，副教授，重庆三峡职业学院。