0.9到底等于1还是约等于1

2015-07-04 14:57江文元
世纪之星·交流版 2015年4期
关键词:错觉整数范畴

到底等于1还是约等于1?这一问题虽小,但一直是大家广为争论的问题之一,笔者从教学实践中发现:不少同学对无限循环小数可以转化为整数或分数,它属于有理数范畴这一概念只知其然,不知其所以然。为此,笔者就以此小问题略加议之。

≈1吗?请先看下面几种解法。

解法一

设X== 0.999······ (1)

则10X=9.99······=9+0.99······

=9+ (2)

(2)-(1)得 9X=9,

则X=1,即=1。

解法二

=0.999······=0.9+0.09+0.009+······=······==1。

解法三

我们考察无穷数列0.9,0.99,0.999···,1-,······

显然,,即=1

事实胜于雄辩,=1而决不会是约等于1!然而,在教学实践中发现,相当多的初学者却总认为≈1,其理由之一是这个数可以相当与1接近,但是永远不会达到1,因此≈1。

学生的错觉是难免的,关键是要求教学者对此引起足够重视,认真分析引起错觉的主要原因,积极提出改进教学的方法,一起彻底纠正错觉。

分析产生错觉的主要原因有两条:

对无限循环小数的概念缺乏本质的认识。凡无限循环小数均属有理数范畴,总可化为有理数或分数形式。解法1就是一例,用同样方法可以得到0.2=

设0.0=x,则1000x=31+10x,

X=,0.2=0.2+x=0.2+=

无限循环小数是整数或分数的另一表达形式是确定无疑了。它与无限不循环小数是有着本质的区别(),前者属于有理数范畴,而后者属于无理数范畴。

对数列(尤其是无穷数列)的项与数列的极限混为一谈。

解法二与解法三都是用求无穷数列的极限的方法而解得=1的,也即这个数,我们可以认为无穷数列0.9,0.99,0.999,...的极限,而绝不是这个数列中的任何一项。在该数列中的任何一项,都绝不会等于这个数列的极限1(当然也有的数列的极限就是该数列中的某一項,例常数列)。

因此,通过是等于1还是约等于1的议论,使学生进一步理解无限循环小数的实质含义。

作者简介:江文元,副教授,重庆三峡职业学院。

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