弦振动实验中阻力系数的测定

浦天舒

（东华大学理学院，上海 201620）

弦振动实验是一个实验装置比较简单的基础性物理实验.然而，由于弦的振动是由作为振源的音叉或簧片的振动驱动的，所以实验中弦线的振动并非两端固定的弦的自由振动.对于两端固定的弦的自由振动形成的驻波，其波腹处振幅的大小是弦的初始横向位移的两倍，但对于一端接有振源（例如音叉）、另一端固定的弦的振动形成的驻波，其波腹处的振幅显然不等于振源振幅的两倍.这难免会引起学生的困惑.事实上，若不存在阻力，此时的振幅将是无穷大，实验中的稳态振动实际上是存在阻力时的结果.因此，对于一端接有振源的弦振动实验的研究必须考虑阻力的影响.

我们现在遇到的实际上是所谓“没有初始条件的问题”[1]：即一根长为l，线密度为ρ的弦，其一端x＝0固定，另一端x＝l处接有振源，作振幅为u0、角频率为ω的简谐振动u0sinωt，在经历了一个很短的时间以后，初始条件所引起的自由振荡衰减到可以认为已经消失，这时弦的振动完全是由振源的振动引起的稳恒振荡，如图1所示.注意此时音叉的振幅u0比驻波波腹的幅度小得多，可看作波节[2].

图1 接振源的弦上的驻波

由于弦线实际上是在阻尼介质（空气）中振动，设u为弦振动时的横向位移，阻力可看成与横向速度∂u／∂t成正比，所以可设弦的单位长度所受的阻力F＝-R∂u／∂t，其中的比例常数R叫做阻力系数.于是，若振动时弦线上的张力为T，当振幅不太大时，由牛顿第二定律可以得到弦在阻尼介质中的振动方程为

边界条件是

为了计算方便，在上述边界条件中u0sinωt即Imu0eiωt写成了u0eiωt，这就必须约定，在算出的最后结果中也应取它的虚部.

因为弦的振动在时间上是简谐的，所以对方程（1）分离变量后可以得到如下通解

式中，A、B是两个积分常数，等号右侧第一项表示自波源x＝l向固定端x＝0传播的入射波，第二项表示由固定端反射回来向波源方向传播的反射波，k为分离变量时所引入的常数，满足

它为一复数，可设

表明现在波在空间上是衰减的.将式（5）代入式（4），可以解出R

所以，若测出了上式右边各个量，便能算出阻力系数R.为此，须使弦的振动处于驻波状态.

把式（2）的边界条件代入式（3）得到

因此有B＝-A，以及A（eαleiβl-e-αle-iβl）＝u0，此式成立的条件是其虚部为零，所以有

当然理论上也存在使式A（eαleiβl-e-αle-iβl）＝u0的实部为零的状态，则2，…），以及然而这是x＝l处于波腹的状态.亦即在理论上如果振源音叉的振幅足够大，也可使x＝l处为波腹.但对于通常的实验装置而言，音叉的振幅很小，所以只讨论式（8）所表示的驻波（当存在阻力时实际上是行驻波）状态.现在式（3）可写成

其振幅为

波腹或波节的位置可以通过令U（x）对x的导数U′（x）＝0求得.因

所以U′（x）＝0，亦即

式（8）提示我们在纯驻波状态时波腹位于x＝l／2n，…，（2n-1）l／2n等n个点处，波节位于x＝0，l／n，…，（n-1）l／n，l等n＋1个点处，由式（13）可知波腹和波节将分别向波源方向和固定端方向偏离一个小量.因此可设距离固定端的第n个波腹（或距离振源的第一个波腹）位于

式中δxloopn为距离固定端的第n个波腹位置与纯驻波时波腹位置的偏离量，把它代入式（13）则有

由于αδxloopn、δxloopn都是小量，可利用展开式以及sin把它们代入式（15）可解出

于是距离固定端第n个波腹的振幅为

由于αδxloopn、δxloopn很小，故上式可近似为

类似地，可设距离固定端的第n个波节位置与纯驻波时波节位置的偏离量为δxnoden（固定端为第1个波节点），因δxnoden是向固定端的偏离量，故可设第n个波节点的位置为

另外，由式（13）可知现在x＝l并非真正的波节点，而是在略小于x＝l处（第n＋1个波节点）.将式（19）代入式（13）可解出

因此距离固定端第n个波节的振幅可近似为

可见由于存在阻力，波腹的振幅不再是无穷大，而波节处的振幅也不是零.令

可把方程（22）写成如下w的多项式形式：

这样便可通过实验测出Uloopn和Unoden亦即r，由方程（23）解出w，则

因ω＝2πf（f为振源振动频率），再把式（8）和式（24）代入式（6），则得到

注意式（6）中的T、α、β并不是互相独立的，α、β实际上都与T有关，所以w也与T有关.

例如，当振源频率f＝119Hz，l＝1.300m，在n＝2的情况下，测得张力T＝2.1733N（砝码加吊钩的重量），2Uloopn＝10.0mm，2Unoden＝1.0mm，即r＝10，把它代入多项式方程（23），用 Matlab中的roots语句[3]很容易解出w的一个根是w＝1.106 251 870 629 305，将以上数值代入式（25），得到R≈0.0044kg·s-1·m-1.若r的测量不确定度（近似标准差）取σr≈1，则由式（23）可算得w的标准差σw≈0.01，可见R的测量精度受σw的影响最大，故σR≈Rσw／（wlnw）≈0.0005kg·s-1·m-1.因此可把R的测量结果写为

而由式（24）可算出n＝2时的α≈0.155m-1，代入式（16）和式（20），可算得自x＝0点算起的第n（＝2）个波腹点和波节点（也是从振源算起的第一个波腹点和第二个波节点）相对于纯驻波状态时的偏离量约为

其中，δxloopn是往波源方向的偏离量，δxnoden是向固定端方向的偏离量.可见偏离量很小，同时也证明了振源处的确可看作波节.

需要指出的是：虽然在计算R的式（6）或式（25）中并未出现弦的线密度ρ，但若R在一定范围内是一个常数，则α事实上与ρ有关，即所测α的数值实际上跟所选的弦线有关.另外，张力T的测量也存在一定的系统误差，这是因为在图1的实验装置中，当弦线拉紧时滑轮的轴承总是存在一定的静摩擦力，导致测得的T会略为偏小.例如，在n＝2的情况下实验时发现，增减5g左右砝码时驻波状态并无明显变化，这显然是滑轮轴承存在静摩擦力的影响所致.

考虑了阻力的作用之后，一方面在理论上避免了无穷大振幅的出现，另一方面在实验上又能够测出阻力系数的数值，既拓展了实验内容，又从这一看似简单的实验中看到了理论的指导作用.

[1]梁昆淼.数学物理方法[M].2版.北京：人民教育出版社，1978：228.

[2]复旦大学，上海师范大学物理系编.物理学：力学[M].上海：上海科学技术出版社，1978：394.

[3]李胡锡，姜红.Matlab循序渐进[M].上海：上海交通大学出版社，1997：122.

[4]林建伟.弦振动驻波分析[J].物理与工程，1995，5（2）：10-14.