广义系统降阶分布式信息融合稳态Kalman滤波器

李怀敏，邓自立，孙 刚，李 恒，赵正平

(1.阜阳师范学院 计算机与信息工程学院，安徽 阜阳 236037；2.黑龙江大学 电子工程学院，黑龙江 哈尔滨 150080)

广义系统降阶分布式信息融合稳态Kalman滤波器

李怀敏1，邓自立2，孙 刚1，李 恒1，赵正平1

(1.阜阳师范学院 计算机与信息工程学院，安徽 阜阳 236037；2.黑龙江大学 电子工程学院，黑龙江 哈尔滨 150080)

针对带相关噪声的多传感器广义系统，提出一种分布式分量标量加权融合稳态降阶Kalman滤波器。应用奇异值分解将原广义系统转化两个等价的降阶子系统，将广义系统状态估计问题转为正常系统的状态估计问题，并求得任两个传感器子系统之间的稳态降阶滤波误差互协方差阵。兼顾融合精度和计算负担，以线性最小方差为融合准则，得到按分量标量加权的稳态Kalman滤波器。该滤波器避免了时刻计算协方差阵和融合权重明显减小了在线计算负担，便于实时应用。Monte Carlo仿真验证方法的有效性。

广义系统；矩阵奇异值分解；Kalman滤波器；ARMA新息模型

广义系统是相对于正常系统而言的，二者既有内在的联系同时又存在本质的区别。广义系统更具有广泛性，是对正常系统的推广，比正常系统在结构上更加复杂多样，在实践中有着广泛应用背景，在理论研究上更具挑战性。近年来，广义系统的研究已成为一个独立的理论研究分支。新近文献[1]以噪声相关的正常系统为研究对象，在线性最小方差准则下给出三种加权融合算法的分布式融合滤波和平滑[2-3]，文献[4]基于线性最下方差标量加权融合算法和射影理论，对带多个传感器和带相关噪声的广义系统提出融合稳态满阶Kalman滤波器。文献[5]在对广义系统进行奇异值分的基础上，得到一类新的广义系统的迭代学习控制结构。

对于广义系统可以设计满阶滤波器和降阶滤波器，但大多数的广义系统都比较复杂、维数较高，所以，本文基于现代时间序列方法，提出广义系统降阶分布式信息融合稳态Kalman滤波器。该方法与经典卡尔曼滤波方法相比，不用计算较高阶的Riccati方程，可以减少计算负担，对于单输出系统更为明显；也可用于设计含有未知噪声统计系统的多传感器信息融合自校正Kalman滤波器。

1 问题的描述

考虑带多传感器线性离散定常广义随机系统：

Mx(t+1)=Φx(t)+Γw(t)

(1)

yi(t)=Hix(t)+vi(t)，i=1,…,L

(2)

其中t为离散时间，状态x(t)∈Rn，第i传感器的观测yi(t)∈Rmi，vi(t)∈Rmi为观测噪声。

【假设1】M为奇异方阵，即detM=0。

【假设2】w(t)∈Rr和vi(t)∈Rmi是零均值相关白噪声：

(3)

【假设3】对任意复数z有det(zM-Φ)不恒为零，且有

(4)

注 假设3限定系统是正定的、完全可观的。

注 本文主要符号说明，下标“i”表示第i个传感器；E表示均值；上标T表示为转置。

2 广义系统正常化

在此利用奇异值分解将广义系统进行降阶处理，转化为降阶子系统标准形，进而，利用正常系统的状态估计理论来解决广义系统的状态估计问题。

由假设1和假设3，设rankM=n1,n1

(5)

(6)

其中L1为n1×n1非异下三角阵，T3为n2×n2非异下三角阵，Γ1为n1×r维，Γ2为n2×r维。Hi1为mi×n1维，Hi2为mi×n2维。n=n1+n2。引入状态变换

(7)

其中x1(t)∈Rn1，x2(t)∈Rn2。由T3非异，则式(5)、式(6)可写成如下两个子系统

x1(t+1)=A0x1(t)+Γ0w(t)

(8)

yi(t)=Hi0x1(t)+ηi(t),i=1,…,L

(9)

(10)

其中定义

ηi(t)=Γi3w(t)+vi(t)

(11)

显然w(t)与ηi(t)是相关白噪声：

(12)

(13)

(14)

(15)

3 基于正常系统的多传感器Kalman滤波器

【假设4】(Φ,Hi)为完全可观对。

【假设5】初始状态x(0)独立于w(t)和vi(t)，且Ex(0)=μ0,E[(x(0)-μ0)(x(0)-μ0)T]=P0。

3.1 ARMA新息模型

当M为单位阵时，则原系统为正常系统，可对其建立ARMA新息模型。由式(1)和式(2)有

yi(t)=Hi(In-q-1Φ)-1Γw(t-1)+vi(t),i=1,…,L

(16)

其中q-1为单位滞后算子，q-1x(t)=x(t-1),In为n×n单位阵。引入左素分解

(17)

其中Ai(q-1),Bi(q-1)有形式：Xi(q-1)=X0i+Xi1q-1+…+Xinaiq-nai，当X=A时，X0=Imi，当X=B时，X0=0。

将式(17)代入式(16)有ARMA新息模型

Ai(q-1)yi(t)=Di(q-1)εi(t)

(18)

(19)

其中Di(q-1)是形如Xi(q-1)的稳定多项式，新息εi(t)∈Rmi有方差阵Qεi。通过Gevers-Wouters[9]算法可求得Di(q-1)和Qεi。

3.2 子系统1的局部稳态Kalman滤波器

引理1[9]在假设3～5下,正常系统式(8)和式(9) 基于第i个传感器的局部最优Kalman预报器

(20)

Ψpi=A0-KpiHi0

(21)

其中，Ψpi为特征值都在单位圆内的稳定矩阵，Kpi是预报器增益，由下式计算：

(22)

Mik=-Ai1Mi,k-1-…-AinaiMi,k-nai+Dik

(23)

其中规定Mik=0,(k<0),Dik=0(k>ndi)。

(24)

(25)

稳态局部滤波误差互协方差阵Σij满足Lyapunov方程

(26)

(27)

引理2[9]降阶子系统式(8)和式(9)在假设3～5下有基于第i个传感器的局部稳态Kalman滤波器

(28)

(29)

(30)

(31)

定义稳态新息互协方差为

(32)

引理3[9]降阶子系统式(8)和式(9)在假设3～5下，基于第i传感器的局部稳态白噪声滤波器为

(33)

(34)

(35)

3.3 子系统2的局部稳态Kalman滤波器

下面我们来处理降阶子系统2的滤波器及估计误差方差阵和互协方差阵。

定理1 降阶子系统式(10)基于第i个传感器的局部稳态Kalman滤波器为

(36)

(37)

(38)

(39)

证明 由式(10)和射影性质可得式(36)。由式(10)和式(36)做差可得子系统x2(t)的滤波误差为

(40)

(41)

定理2 降阶子系统式(10)的任两个传感器之间滤波误差互协方差阵如下

(42)

(43)

(44)

证明 由式(40)得式(42)。当i≠j时，由式(28)和式(33)有下式

(45)

(46)

4 广义系统加权信息融合降阶稳态Kalman滤波器

基于前面降阶常规子系统的局部稳态Kalman滤波器，我们可以获得原广义系统(1)(2)的局部稳态Kalman滤波器，再对广义系统局部稳态滤波器按照线性最小方差融合准则进行信息融合，从而获得原广义系统的信息融合Kalman滤波器。

(47)

(48)

(49)

定理3 对带多传感器广义系统(1)(2), 在假设1～3下有局部稳态滤波器为

(50)

局部稳态最优估值误差方差阵和互协方差阵分别为

(51)

其中

(52)

(53)

(54)

证明 参见引理4可证得式(54)。

注 本文加权阵Ωi是对角矩阵，按对角阵加权相当于对每个分量按不同的标量加权，比单纯按标量加权融合的精度高，同时也比矩阵加权融合的计算负担小，所以按对角阵加权是我们同时考虑融合精度和计算负担时实际应用中的恰当选择。

5 仿真研究

考虑三传感器多通道广义系统(1)(2)

观测噪声vi(t)与系统噪声w(t)，且满足vi(t)=fiw(t)+ξi(t)，ξi(t)为零均值独立于w(t)的高斯噪声，方差阵为Qξi。yi(t)是第i个传感器的观测。仿真中取Qw=0.2I2,Qξ1=3I2,Qξ2=0.4I2,Qξ3=2I2。f1=0.1,f2=0.2,f3=0.05。取正交阵P，Q分别为P=I4,

i=0,1,2,3，m=100，j=1,…,m，t=1,…,200

(55)

从图1中还可以看出，本文阐述的基于ARMA新息模型的方法和经典Kalman滤波方法在融合功能上具有等价性。但在计算负担上本文的方法要优于经典Kalman滤波方法，这可以通过如下Riccati方程来验证。经典稳态Kalman滤波需要求解如下Riccati方程：

(56)

图1 局部和加权融合稳态Kalman滤波器均方误差(MSE)曲线

6 结论

本文针对带相关噪声的多传感器广义系统，采用降阶处理的方法，将广义系统转化为等价的两个正常的降阶子系统，将子系统1基于ARMA新息模型求局部稳态预报器和预报增益；用Lyapunov方程求预报估值误差方差阵和互协方差阵。在此基础上获得子系统1和子系统2的局部稳态Kalman滤波器及其增益阵。最后基于线性最小方差分量标量加权融合准则，给出分布式对角阵加权信息融合降阶稳态Kalman滤波器。该方法与经典卡尔曼滤波方法相比，不用计算较高阶的Riccati方程，可以减少计算负担，对于单输出系统更为明显；也可用于设计含有未知噪声统计系统的多传感器信息融合自校正Kalman滤波器。

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Reduced-order distributed information fusion steady-state Kalman filter for generalized systems

LI Huai-min1，DENG Zi-Li2，SUN Gang1，LI Heng1，ZHAO Zheng-ping1

(1.SchoolofComputerandInformationEngineering,FuyangNormalUniversity,FuyangAnhui236041,China;2.SchoolofElectronicEngineering,HeilongjiangUniversity,HarbinHeilongjiang150080,China)

For generalized systems with multisensory and correlated noise, a distributed fusion steady-state reduced-order Kalman filter is presented. Applying the singular value decomposition, it is transformed into two reduced order coupled subsystems. Then the state estimation problems of generalized systems become the normal systems′ state estimation problem. The cross-covariance matrix of steady-state reduced-order filtering errors between any two sensor subsystems is derived. At the same time to consider the fusion accuracy and the computational burden, it proposes the Kalman filter weighted by diagonal matrices in the linear minimum variance sense. The proposed steady-state fusion filter method avoids computing covariance matrices and fusion weights at each time step, so the computational burden can be reduced, and convenient to apply in real time. Simulation example shows the effectiveness of the proposed method.

Generalized systems; singular value decomposition of matrix; Kalman filter; ARMA innovation model

2015-01-22

安徽省教育厅自然科学一般项目(KJ2013B192，2015KJ012)；阜阳师范学院校级一般项目(2013FSKJ08，2015FSKJ08，2013FSKJ14)；阜阳师范学院科技成果孵化基金(2013KJFH05)；阜阳师范学院质量工程项目(2013ZYSD05)资助。

李怀敏(1978-)，女，硕士，讲师，研究方向：Kalman滤波、信息融合、状态估计等。

O-211.64

A

1004-4329(2015)03-070-06

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329(2015)03-070-06