一类具有反应扩散和比率依赖功能性反应的捕食者-食饵模型的全局稳定性

李学鹏，杨文生

(福建师范大学 数学与计算机科学学院，福建 福州 350007)

一类具有反应扩散和比率依赖功能性反应的捕食者-食饵模型的全局稳定性

李学鹏，杨文生*

(福建师范大学 数学与计算机科学学院，福建 福州 350007)

研究一类具有反应扩散和比率依赖功能性反应的捕食者-食饵模型。 通过构造递推序列和运用迭代方法，得到了该生态种群系统的正平衡点是全局渐近稳定的。所得结论完善和补充了前人的结果。

反应扩散；比率依赖功能性反应；迭代方法；全局渐近稳定

1 引言

在文献[1]中，Shi 和 Li研究了如下具有反应扩散和比率依赖功能性反应的捕食者-食饵模型

(1)

Shi 和Li 通过如下的变换

将系统(1)简化成如下的形式(为了方便，令δ=1)，

(2)

显然，如果β<1+m，那么系统(2)存在唯一正平衡点E=(u*,v*)，其中

他们通过构造适当Lyapunov函数的方法，得到了保证系统(2)的正平衡点(u*,v*)是全局渐近稳定的充分条件，即如下条件

(3)

然而，条件(3)相对比较复杂，是否可以用其它方法得到比较简单的充分条件？下一节将给以回答这个问题。事实上，在文献[1] 的注记2.9中，Shi 和 Li指出系统(2)中的功能性反应是第三类和基于比率依赖的，形式上比第二类复杂。是否可以采用文献[2]中所用的上下解方法证明系统(2)的正平衡点的全局渐近稳定性，是一个开放而且是有趣的问题。

2 全局渐近稳定性

在这一节，将考虑系统(2)的全局渐近稳定问题。从生物意义上看，系统(2)的正平衡点E=(u*,v*)是全局渐近稳定的，意味着：不管捕食者和食饵种群怎么扩散，当时间趋于无穷大的时候，食饵和捕食者种群将在空间中均匀分布。

定理1 如果

(4)

那么系统(2)的正平衡点E=(u*,v*)是全局渐近稳定的。

从文献[1]中的定理2.5，可以很容易得到，对任意的ε>0，

,

(5)

下面我们将构造递推序列，令

(6)

下面由系统(2)的第一个方程，(5)和(6)，可以得到

(7)

利用抛物方程的比较原理可以得到，对上述的ε>0，存在t1>0，使得对任意的t>t1，有

(8)

由系统(2)的第二个方程和(8)，可以得到，对任意的t>t1，

(9)

利用抛物方程的比较原理可以得到，对上述的ε>0，存在t2(>t1)，使得对任意的t>t2，有

(10)

由系统(2)的第一个方程，(5)，(9)和(10)，可以得到

(11)

利用抛物方程的比较原理可以得到，对上述的ε>0，存在t3(>t2)，使得对任意的t>t3，有

(12)

由系统(2)的第二个方程和(12)，可以得到，对任意的t>t3，

(13)

利用抛物方程的比较原理可以得到，对上述的ε>0，存在t4(>t3)，使得对任意的t>t4，有

(14)

显然，

(15)

(16)

(17)

利用(17)，当k=n+1时，容易得到

(18)

(19)

在(16)中，令n→+∞，可以得到

c2=c1

(20)

由(20)得，

(21)

由(21)得

(22)

(23)

把(23)的两个等式分别代入(21)的两个方程，可以得到

(24)

因此下面关于变量u的方程

(25)

(26)

所以方程(25)不可能存在两个不相等的正根。

(27)

由(20)得

(28)

由(20)，(27)和(28)可得，对所有的x∈Ω，系统(2)的解(u(x,t),v(x,t))满足

因此，系统(2)的唯一正平衡点E=(u*,v*)是全局渐近稳定的。

3 结论

[1]Shi H B, Li Y. Global asymptotic stability of a diffusive predator-prey model with ratio-dependent functional response[J]. Applied Mathematics and Computation, 2015, 250: 71-77.

[2]Chen S S, Shi J P. Global stability in a diffusive Holling-Tanner predator-prey model[J]. Applied Mathematics Letters, 2012, 25(3): 614-618.

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[11]Zhang J F. Bifurcation analysis of a modified Holling-Tanner predator-prey model with time delay[J]. Applied Mathematical Modelling, 2012, 36(3): 1219-1231.

Global asymptotic stability of a diffusive predator-prey model with ratio-dependent functional response

LI Xue-peng，YANG Wen-sheng

(SchoolofMathematicsandComputerScience,FujianNormalUniversity,FuzhouFujian350007,China)

A diffusive predator-prey model with ratio-dependent functional response is considered in this paper. Sufficient conditions for the global asymptotic stability of the unique positive equilibrium of the system are derived by constructing recurrent sequences and using an iterative method. It is shown that our result supplements and complements one of the main results of Shi and Li's paper.

diffusion; ratio-dependent functional response; iterative method; global asymptotic stability

2015-04-04

福建省自然科学基金项目(2012J01002, 2014J01003)资助。

李学鹏(1956-)，男，博士，教授，研究方向：微分方程定性理论、生物数学。

杨文生(1981-)，男，博士，讲师，研究方向：生物数学，Email:ywensheng@126.com。

O175.13

A

1004-4329(2015)03-012-04

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329(2015)03-012-04