Weibull 寿命型产品可靠性序贯验证试验方法

王 琳，吴海桥，宗茜茜

(南京航空航天大学民航学院，南京 211106)

可靠性试验是为了解、评价、分析提高产品可靠性而进行的试验的总称，通常包括环境应力试验、可靠性增长试验、可靠性鉴定试验和验证试验［1］。可靠性验证试验用于验证产品的可靠性是否达到规定标准，通过度量并给出试验验证值，可为研制阶段的产品提供设计改进措施，以及对产品的验收过程提供合理的判决依据。其中，通常定时截尾试验由于便于控制试验的进程而得到采用，但试验需要的样本量较大，而定数截尾方式适用于小样本下的可靠性验证［2］。而序贯抽样试验方法能利用试验中产生的过程信息不断做出判断，而无需等到将试验进行到规定的截止时间或失效数为止时再进行判断，在最大程度上利用了试验的有效数据。因此，一般情况下，与定时或定数截尾等一次抽样试验方法相比，序贯抽样试验方法做出判断所用的平均累积试验时间较短、平均失效数较小，可缩短试验时间和节省试验费用。周桃庚等［3］讨论了Weibull 分布下的贝叶斯可靠性序贯验证试验方法，并以某光电仪器为例，制定了以平均寿命为指标的序贯验证试验方案，该方法可节省试验时间、降低试验成本，提高试验数据利用率及试验效率，但要求了解参数的先验信息，再利用这些信息来估计出先验分布中的参数，进而制定贝叶斯可靠性序贯验证试验方案。邓清等［4］讨论当产品的寿命为对数正态分布时，在给定对数标准差的前提下的截尾序贯验证试验方案。

此外，目前国内外文献所提出的序贯抽样试验方法均基于产品寿命服从指数分布假设［5-6］，具有一定的局限性，给出的试验标准对大多数机电产品并不适用。基于此，陈文华［7］等通过将Weibull 分布转化为指数分布的形式，根据指数分布序贯验证试验理论，推导出了适用Weibull 分布产品的可靠性序贯抽样验证试验方法，但该方法在样本数较少的试验中不能做出有效判决。Tzong-Ru Tsai［8］基于形状参数已知、尺度参数为随机变量的基础假设，建立了在试验设备有限的条件下Weibull 寿命型产品的抽样试验方案，并通过计算验证了其合理性。Daryl J. Hauck［9］等依据标准中的序贯验证方案只适用于指数分布而不适用于Weibull 分布，指出了Weibull 寿命型序贯验证试验中将Weibull 分布转化为指数分布时其形状参数并不是已知的，而是未知的，需要进行准确估计。楼洪梁［10］等在Daryl J.Hauck 等的基础上，以滚动轴承的序贯抽样试验为研究背景，根据Weibull 寿命型产品的序贯验证试验理论，研究了Weibull 分布形状参数的变化对产品接收和拒收概率的影响，并通过模拟试验定量分析了形状参数变化时产品接收和拒收概率的变化情况。

本文在现有研究基础上，针对多数非电子产品的故障前平均工作时间(MTBF)服从或近似服从Weibull 分布，而不服从指数分布的实际情况［11］，研究分析了Weibull 寿命型产品的序贯验证试验方案，并实例说明了选择合理的试验方案能够一定程度提高可靠性验证试验的效率及其有效性。

1 Weibull 分布下可靠性序贯验证试验

1.1 转化为指数分布形式的Weibull 分布序贯概率比试验方案

双参数Weibull 分布的概率密度函数f(t)和分布函数F(t)分别为

其中:m 为形状参数;η 为尺度参数。

设随机变量X 服从双参数Weibull 分布，记概率密度函数为f(x，θ)(θ 为寿命参数)。假设其MTBF 检验上限为θ0，检验下限为θ1，则样本总体为f(x，θ)的样本(x1，x2，…，xn)，其随机变量X1，X2，…，Xn的联合概率密度函数为:

若θ=θ0，则Pθ0=f(x1，x2，…，xn;θ0)=1 -α;

若θ=θ1，则Pθ1=f(x1，x2，…，xn;θ1)=β。

其中:α 为生产方风险;β 为使用方风险。

定义概率比为Pθ0/Pθ1。按序贯抽样试验规则，预先选取两个常数A 和B 作为判断界限。Wald 提出的序贯试验判断界限为［8］:令

若Pθ0/Pθ1≤B，则θ =θ0，接收(Pθ0大，高概率接收); 若Pθ0/Pθ1≥A，则θ=θ1，拒收(Pθ1大，高概率拒收);若B ＜Pθ0/Pθ1＜A，则无法做出判断，需继续试验。

GJB 899A—2009(《可靠性鉴定和验收试验》)中，将双参数Weibull 分布转化为单参数的指数分布［7］，推导出Weibull 分布的序贯试验方案，给出了指数分布序贯验证试验的判断准则。由

可得θ=ηm= -［t(R)］m/InR(R 为给定的可靠度)。

式(2)可写成如下积分的形式

令y=xm，θ=ηm，则

此时，y 服从指数分布。按此方法，Weibull 分布转化成了指数分布。若N 个样品进行非替换序贯试验，在t 时刻前有r 个样品失效，记t(i)为第i 个样品失效时间，则t(1)，t(2)，…，t(r)的联合概率密度为

Weibull 寿命型非替换序贯验证方案如下:

1.2 非电子产品序贯概率比验证试验方案

［13］给出了通常情况下非电子产品的序贯概率比验证试验方案:

接收方程为

拒收方程为

将产品逐个投入试验，每出现一个故障，即与接收、拒收判据比较，或在试验中跟踪描点，直至做出接收或拒收判决。

1.3 非电子产品序贯概率比验证试验方案的快速判决

参考文献［13］给出了在小样本情况下，非电子产品序贯概率比验证试验方案的快速判决方法。若式(8)成立，则接收，认为θ=θ0;

若式(9)成立，则接收，认为θ=θ1。

2 不同序贯验证试验方案的判决情况对比

某型机械设备故障服从Weibull 分布，且m =2［11］，α =β=0.20，θ0=270 h，θ1=135 h。选取3 台设备进行试验，数据如表1 所示。可获得产品样本数较少，用以下不同的试验方案做出判决。

表1 某型机械设备故障时间

1)采用1.1 的试验方案，但合同中没有给出R 的取值，因此推导出的Weibull 分布可靠性序贯验证试验方案具有局限性。若令R=0.9，则t0(R)=270 h，t1(R)=135 h，转化后的θ1= -［t1(R)］m/lnR =1.729 8 ×105，θ0= -［t0(R)］m/lnR=6.919 1 ×105=4θ1。由α = β =0.20，m =2，d =2 查GJB 899A—2009，根据图A.23 试验统计方案，得出对应的定数截尾验证试验方案的截尾故障数为6。取该截尾数的3 倍作为同等要求下的定数截尾序贯验证试验的截尾数［14］，则该实例中截尾数r=18。但由于试验经费和时间限制，该实例只投入了3 个试验样品，远达不到所需的18 个试验样品的要求，因而不能做出判决。

2)采用1.2 的试验方案，由式(6)和式(7)计算故障数r与K 之间的关系如下:

(1，K)=(1，1.075 4)，(2，K)=(2，3.978 1)，(3，K)=(3，10.699 6)。在Matlab 中绘制函数图像并描点，如图1 所示，在K=10.699 6 处得到接收判决。

3)采用1.3 的试验方案，将前两个故障时间分别代入式(8)、(9)，既不能得到接受判决也不能得到拒收判决，故继续试验，试验进行到第3 个设备故障时，有:

即:195 000 ＞134 747.81，因此可以做出接收判决，总试验时间为720 h。

4)采用GJB 899A—2009 中的标准试验方案，直接用指数分布下的序贯验证方法，计算得试验时间t 与故障数r 之间继续试验方程为

分别以故障数r(纵坐标)与总试验时间t(横坐标，θ1的倍数)描点，在Matlab 中绘制的图形如图2 所示。不同方案下的判决情况如表2 所示。

图1 采用1.2 方案序贯试验结果示意图

图2 采用GJB 899A—2009 序贯试验方案结果示意图

表2 不同序贯验证试验方案的判决情况对比

从上述试验方案的设计和分析结果可以看出，不同验证试验方案的选取对结果的影响较大:采用1.1 的试验方案，需要样本数较多，但由于样本数和总试验时间的限制，不能做出有效判决;采用1.2 的试验方案，可以直观地通过图像看出故障数与试验时间相对应的点落入的范围，从而做出正确判决;对于小样本试验，采用1.3 的试验方案可以快速做出判决，但对于较大的样本计算量也将偏大; 基于故障服从指数分布的假设，直接采用GJB 899A—2009 中的试验方案，做出的判决为继续试验，而该设备故障实际服从威布尔分布，该基本假设不正确，从而导致判决结果不准确。

3 结束语

针对多数非电子产品的故障前平均工作时间(MTBF)服从或近似服从Weibull 分布，而不服从指数分布的实际情况，以及国内外文献给出的试验标准对大多数非电子产品并不适用这一问题，本文根据非电子产品的序贯抽样试验和指数分布的序贯试验理论，研究分析了Weibull 寿命型产品的可靠性序贯验证试验方案，着重比较论述不同方案下的试验结果及其差异，并实例说明了选择合理的试验方案能够一定程度提高可靠性验证试验的效率及其有效性。在进行寿命服从或近似服从Weibull 分布的产品可靠性序贯验证试验时，应根据实际样本容量及其他实际因素来确定试验方案的参数，有根据地选取试验方案，从而更有效地根据试验结果做出相应的正确判决。如何根据序贯试验理论制定更为简便有效的Weibull 寿命型产品的验证试验方案将是下一阶段的研究重点。

参考文献:

［1］GJB 450A—2004，装备可靠性工作通用要求［S］.

［2］陈文华，柴新，盛军鑫，等.Weibull 寿命型产品可靠性定数截尾验证试验方法［J］.浙江大学学报，2001，35(2):128-130.

［3］周桃庚，沙定国.贝叶斯可靠性序贯验证试验方法［J］.仪器仪表学报，2011，22(4):373-374.

［4］邓清，袁宏杰.对数正态分布寿命型序贯验证试验方法［J］.北京航空航天大学学报，2012，38(12):1653-1656.

［5］MIL—STD—781D.Military Standard Reliability Testing for Engineering Development，Qualification，and Production［S］.

［6］陈文华，柴新，石永刚.Weibull 寿命型产品可靠性序贯验证试验方法［J］. 仪器仪表学报，1999，20(5):493-496.

［7］Tzong-Ru Tsai，Yu-Ting Lu，Shuo-Jye Wu.Reliability sampling plans for Weibull distribution with limited capacity of test facility［J］.Computers ＆ Industrial Engineering，2008(55):721-728.

［8］Daryl J，Hauck J，Bert Keats.Robustness of the exponential sequential probability ratio test (SPRT)when Weibull distributed failures are transformed using a“known”shape parameter［J］. Microelectronics Reliability，1997，37(12):1835-1840.

［9］楼洪梁，李兴林.Weibull 分布形状参数对轴承序贯验证试验的影响［J］.轴承，2011(4):34-36.

［10］李鑫，蔡景，周月.Weibull 分布可靠性序贯验证试验方案选择及分析［J］.工程与试验，2013，53(2):4-7.

［11］姜同敏，王晓红.可靠性试验技术［M］.北京:北京航空航天大学出版社，2012.

［12］曾天翔.可靠性及维修性工程手册(下册)［M］.北京:国防工业出版社，1995.

［13］李根成，姜同敏.定时截尾可靠性鉴定试验方案的参数选择及分析［J］.航空学报，2006，27(2):272-274.