几何直观，让数学教学走向深刻

罗鸣亮

[摘 要]几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以利用图形描述几何或者其他数学问题、探索解决问题的思路、预测结果。以具体课例为载体，阐述在数与代数的学习中，用图形描述数的关系，形成对知识、技能的贯通式认识和理解，寻求解决问题的思路，发展思维能力，并理解和分析得到的结果。

[关键词]几何直观 数感 思维 解决问题

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）17-010

希尔伯特说：“算术记号是写下来的图形，几何图形是画下来的公式。”“几何直观”是2011版《义务教育数学课程标准》提出的十个核心理念之一，课程标准对“几何直观”这样解释：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”由此可见，课程标准对“几何直观”在教学中的作用十分重视，在内容上、意义上和方法上远远超出对几何图形本身的研究意义。

一、新——旧，聚焦“几何直观”

在实际教学中，对“几何直观”的理解，常被认为是旧酒装新瓶，将之等同于“数形结合”。

细细研读，从涉及的对象和解决问题的通道可得知两者有重叠之处，但又不尽相同。数形结合包含“由形到数”和“由数到形”两方面，几何直观借助图形描述问题的范围更宽广，除了”图形与几何“领域中的问题，还涉及”数与代数“、“统计与概率”等，基本涵盖了小学数学四大领域。“几何直观”主要借助于见到（或想象出来的）图形的形象关系，对数学的研究对象（空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握。而这里的“图形”不仅仅局限于几何图形，线段图、运算符号、字母、文字等直观符号相结合的图示语言，想象中的图示都可以看成是“几何直观”理念的体现。正如德国数学家克莱因所说：“数学的直观是对概念、证明的直接把握。”也就是说，几何直观能力的培养对学生来说是至关重要的。

二、形——数，凸显“几何直观”

培养和发展学生的几何直观能力，要充分利用几何直观来揭示研究对象的性质和关系，依托具体的数学课程教学内容，需要具体落实在课程内容、课堂教学细节之中，使学生认识几何直观在数学学习中的意义和作用，同时也学会数学的一种思考方式和学习方式。

从一年级到四年级，学生在认识数的量上和把握数的质上有了飞跃，这些知识的获得对学生来说并非轻而易举之事，尤其是如何准确地找到某个数的近似数，学生遇到的困难比较大。下面将以四年级“近似数”一课为例进行简单呈现。

1.借助几何直观，发现和描述研究的问题，深化概念理解

几何直观是具体的，它与数学的内容紧密相连。事实上，很多重要的数学内容、概念，如数、度量、函数，以至于高中的解析几何等，都具有双重性，既有“数的特征”，也有“形的特征”，只有从两个方面认识它们，才能很好地理解它们、掌握它们的本质意义。也只有这样，才能让这些内容、概念变得形象、生动起来，变得更容易使学生接受并运用它们去思考问题，形成几何直观能力。

课始，教师在黑板上反扣五个数字卡片，代表汽车价格的五位数，问：“这辆汽车的价格大约是80000元，它的价格可能是多少元？”让学生自己猜测一个数，同时让学生在数轴上找出这个数的位置。学生边猜教师边借助数轴让学生直观体会到近似数的意义及其内在蕴藏的区间值。之后教师问学生：“结果好猜吗？为什么不好猜？”引发争执。此时，一学生回答：“如果给我两天，我就能猜出来。”教师追问：“为什么有的同学说不好猜，有的同学却说给他两天就能猜出来？”学生回答：“因为范围很广，所以不好猜，但时间充裕的话一定能猜出来。”

所谓近似数，它其实是归类后的新数，我们可以理解为一个数段的代表数。在数轴上可以直观地看到它们之间的距离跨度，近似数就是数轴上的一些“单位”，每个单位包含一定的数，对80000而言，它涵盖了75000～85000这个区间，虽然很多，但也有一定的范围。

在数与代数的学习中，用图形描述数的关系，可以多角度地认识和理解知识，形成对知识、技能的贯通式认识和理解，逐步形成一种对数与形之间的化归与转化的意识。

2.注重几何直观，寻求解决问题的思路，发展思维能力

几何直观与想象、逻辑、推理也是不可分的。它不仅仅是看到了什么？还是通过看到的图形思考到了什么？想象到了什么？这是数学非常重要而有价值的思维方式。几何直观会把看到的与以前学到的结合起来，通过思考、想象、猜想出一些可能的结论和论证思路，这也就是合情推理，它为严格证明结论奠定了基础。

在“近似数”一课中，教师顺势提问：“我们课堂时间有限，所以怎么办？”学生很自然想到要通过缩小范围来知道结果，由此就产生了如何取近似数的需求。

本课中，在让学生猜测汽车的价钱后，问：“汽车价格约8万，这个数万位可能是几？”“为什么可能是7，也可能是8。”之后揭示答案——7，又问：“千位呢？”学生答：“可能是5、6、7、8、9，不可能是0、1、2、3、4。”此时教师反问道：“可以是4吗？为什么不行？”再让学生在数轴上找到74999，说明74999相对而言不接近80000更接近70000，它的近似数是70000不是80000，直观揭示“四舍五入”的由来。通过对比，让学生对近似数的认识更深刻！教师顺势揭示——74580！将学生刚从数轴上获取的新知又弄混了，师给出解释：“上课前一紧张把数字的顺序弄混了，应该怎么调整呢？调整后的数又分别在数轴上的哪里呢？”之后，学生按照教师的提示语“高了、低了”逐步调整顺序，很快找到正确答案：78450。

整个过程通过数字卡片在黑板上的反扣、翻动、移位，结合数轴引导学生感受为何规定“四舍五入”，知识复归到它形成的过程状态，这个状态是鲜活的，培养了学生的兴趣和数感。

不要把几何直观简单地等同于能用图描述问题的技能，几何直观更为深远地表现为能够借助图形去思考的能力。教师在培养学生利用几何直观描述与分析问题的意识和能力时，要关注学生运用几何直观表征问题的过程，以及表征之后的反思与顿悟。没有反思和顿悟，学生可能获得了几何的方法，却未必获得几何直观的能力，难以形成与之相应的数学思维模式。站在这个角度看，几何直观虽然是借助图形展开思维活动，但明显超越了图形，走向了直观，因此直观思维才是它的核心和重点。

3.把握几何直观，理解和分析得到的结果，洞察数学本质

课程标准提出：把握几何直观的价值，不仅仅在于“有助于探索解决问题的思路”，更为重要的是“帮助学生直观地理解数学的本质。”

课中，在出示汽车价格78450元后，教师又提出：“我女儿说，这辆汽车价格大约是78000元。她说的对吗？”一波未平，一波又起，在辩论的氛围中，最终达成共识。此时再次借助数轴让学生清楚地认识到：78450在78000和79000之间，接近的是78000。正因为参照的标准不同，取值的范围不同，所以近似数的估计结果也会不同。此时再追问：“把一个数精确到不同的位数，你有什么发现？”让学生感受：精确到的位数越低，就越精确，在数轴上也可以体现为刻度稀疏和细密的差别。

几何直观是揭示现代数学本质的有力工具，利用图形描述几何或者其他数学问题、探索解决问题的思路、预测结果。几何直观能力可以帮助学生较好地理解数学本质，使学生体验数学创造性工作的历程，形成良好的思维品质。教师应具有培养学生几何直观的自觉意识，以保护学生先天的几何直观的潜质作为起点，以有效提升学生的几何直观水平作为重点，让学生最终形成敏锐的洞察力和深厚的数学素养。

（责编 金 铃）