基于正交镜像滤波器组的子带脉冲压缩方法

高翠翠，林明，钱春雷

（江苏科技大学电子信息学院，江苏镇江212003）

基于正交镜像滤波器组的子带脉冲压缩方法

高翠翠，林明，钱春雷

（江苏科技大学电子信息学院，江苏镇江212003）

针对超宽带雷达频带分割滤波器不理想、导致子带脉冲压缩和直接脉冲压缩结果相差较大的问题，本文提出了基于正交镜像滤波器组的子带脉冲压缩方法。首先设计了近似完全重建的正交镜像滤波器组，定义目标函数为通带误差、阻带能量和失真转移函数平方误差的加权和，通过无约束的变尺度方法将其最小化，然后用设计的正交镜像滤波器作为频带分割滤波器，实现子带脉冲压缩。仿真结果表明，本文设计的正交镜像滤波器组，相比现有的设计，具有更小的峰值重建误差、通带和阻带误差。提出的子带脉冲压缩方法，与传统方法相比，主副瓣比和主瓣宽度等脉压性能也明显提高。

超宽带雷达；脉冲压缩；正交镜像滤波器组；FIR原型滤波器

0 引言

超宽带雷达因具有高距离分辨率、低截获概率以及良好的目标识别能力等优点，受到国内外广泛关注。对大时宽带宽积回波信号进行脉冲压缩可获得较高的距离分辨率和较远的作用距离，但目前受模数转换器件的限制，还无法直接对超宽带信号进行处理[1]。参考文献[2]提出了基于频带分割的多通道综合脉冲压缩方法，但由于模拟频带分割滤波器组不够理想，使得通过滤波器后的信号会产生混叠以及幅度和相位失真，影响脉冲压缩的性能。

正交镜像滤波器组的出现，为宽带信号的处理提供了有效方法。随着多抽率数字信号的飞速发展，其作用越来越重要，在图像编码、多载波调制系统[3]、抽样理论[4]以及宽带波束形成声呐等各领域已被广泛应用。对近似重建正交镜像滤波器的设计方法也有多种，传统的设计方法是采用不同的窗函数设计滤波器，最优解的收敛需要多次迭代，每次迭代之后需要重新对滤波器进行设计，运算量较大。参考文献[5]提出了一种基于线性目标函数的最小加权二乘方法获得最优滤波器系数，参考文献[6]提出基于无限脉冲响应的全通滤波器优化方法，先将其简化为线性相位优化，通过求解由Toeplitz-plus-Hankel矩阵构成的线性方程组得到滤波器系数，但这两种方法都需要进行矩阵求逆，尤其滤波器长度较长时，计算量很大，引起很多问题，不适合实时应用。

本文提出了一种新的子带脉冲压缩方法，首先设计频带分割滤波器组。原型滤波器的设计，没有采用窗函数的非线性优化或者切比雪夫逼近法减小重构误差，也避免了求影响优化方法性能和有效性的逆矩阵的传统设计方法，而是将通带误差、阻带残余能量和失真转移函数在正交频率w=pi/2处的平方误差的加权和定义为误差函数，通过无约束变尺度方法[7]使其最小化，得到原型滤波器的系数。最后对超宽带雷达信号进行了仿真，仿真结果验证了该算法的正确性和有效性。

1 子带脉冲压缩原理

设接收信号为x（n），脉冲压缩后的输出信号为y（n），对应的Z变换分别为X（Z），Y（Z）。

子带脉冲压缩的基本原理：将接收信号通过分析滤波器组分成子带信号，对每个子带信号进行抽取，匹配信号为每个子带信号频谱复共轭，接收信号频谱与匹配信号频谱相乘，得到子带脉压结果，对其进行同等倍数的插值后通过综合滤波器组，得到宽带脉冲压缩信号。图1给出了子带脉冲压缩的结构图。H1（Z），H2（Z）分别是正交镜像滤波器中分析滤波器的低通和高通滤波器，F1（Z），F2（Z）对应的是综合滤波器的低通和高通滤波器。

图1 子带脉冲压缩原理框图

由抽取内插理论以及正交镜像滤波器组性质可简化得到：

令

为获得完全重建滤波器组，应满足以下条件：

由式（3）可知，若H1（Z）是一个线性相位滤波器，则T（Z）也是一个线性相位滤波器，可消除相位失真。由数字信号理论可知，当N阶FIR滤波器满足奇对称或偶对称时，FIR滤波器为严格线性相位，又H1（Z）为低通滤波器，则低通滤波器的脉冲响应满足：

式（4）中，N为滤波器长度。

对应的频率响应为：

其中，A（ω）=±|H1（ejω）|。

消除混叠失真和相位失真后，由于滤波器的镜像对称约束条件，只能减小幅度失真，不能完全消除。

当N为奇数、

2 QMF的FIR原型滤波器设计

不难看出，正交镜像滤波器组的设计关键在于低通原型滤波器H1（Z）的设计。定义误差函数为：

Ep和Es分别为低通滤波器H1（Z）的通带误差和阻带能量，Et为T（Z）在过渡带别为低通滤波器在零频率和正交率处的幅度响应。因此，平方误差Et可表示为：

通带误差和阻带误差分别由式（10）和（11）给出：

其中ωp和ωs分别为通带和阻带的边界频率。对于长度为偶数的实对称序列h1（n），对应的幅频响应H1（ejω）为：

其中，bT=2h1T，向量b，c分别是：

当ω=0时，

其中1为所有元素为1的列向量。因此，

其中，q=c（π/2），A1=0.707A（0）

同理，可得到通带误差和阻带误差的另一种表达形式：

由式（5）可知：

其中W，Z是实对称正定矩阵。

3 仿真分析

则目标函数E可表示为：

其中，矩阵U，Y分别为

式（22）给出了目标函数的表达式，是一个二次函数，矩阵U为对称正定矩阵，因此，可通过无约束的变尺度方法对误差函数E进行最小化，得到最优系数。

设迭代第i步的最小值为bi，搜索方向的最优步长是λi，则bi+1可用下式（25）计算：

其中，▽φi是目标函数E的梯度，Ji为搜索方向。

[Hi]为海森逆矩阵，初始值为单位矩阵，矩阵更新由牛顿法计算：

参数设置：取滤波器长度N=24，通带频ωp=0.4π，ωs=0.6π，α1=0.7，α2=0.1，α3=1。图2（a）给出了分析滤波器低通和高通的归一化幅频响应。图2（b）为正交镜像滤波器组的重建误差。该算法的主要性能参数：峰值重建误差PRE=0.013 9，通带误差Ep=1.162×10-8，阻带误差Es=7.48×10-5，阻带边缘衰减As=25.06 dB。

图2 分析滤波器的幅频响应和重构误差

表1给出了本文设计的滤波器和其他文献设计的滤波器性能比较。

线性调频信号参数设置：脉冲宽度T=2 μs，带宽B= 150 MHz，采样频率F=300 MHz。图3给出了不同方法的频带分割加海明窗后的最终脉压结果。直接脉压主副瓣比约为42 dB，利用巴特沃斯分割主副瓣比仅28.62 dB，而采用本文的正交镜像滤波器设计方法，可将主副瓣比提高到约40 dB，主瓣宽度几乎相同。最大子带脉压误差由原来的32 dB降低到23 dB。

表1 本文设计的滤波器和其他文献设计的滤波器性能比较（均取N=24，ωp=0.4π，ωs=0.6π）

图3 频带分割脉压结果

4 结束语

本文提出了一种新的子带脉冲压缩方法。本方法主要创新点在于：一是正交镜像滤波器的设计，抛弃了传统的窗函数或等波纹逼近法设计原型滤波器方法，而是采用变尺度方法，通过优化原型滤波器系数使误差函数达到最小，设计的滤波器与其他几种文献设计的方法相比，其峰值重建误差、通带和阻带误差均有所减小。二是采用了将正交镜像滤波器作为频带分割滤波器的子带脉冲压缩方法，该方法的优越性主要表现在：与现有的通过频谱搬移实现多通道综合的脉冲压缩方法相比，消除了相邻通道之间的混叠失真和相位失真，幅度失真也降到最小，使子带脉压后的结果和直接脉压结果更为接近，仿真结果验证了该算法的有效性。

[1]李志强，刘利民，马彦恒.雷达信号的高速数据采集处理系统的设计[J].电子技术应用，1998，24（12）：34-35.

[2]水鹏朗，保铮.基于频带分割的超宽带雷达脉冲压缩方法[J].电子学报，1999，27（6）：50-53.

[3]CHEN D，QU D，JIANG T，et al.Prototype filter optimization to minimize stopband energy with NPR constraint for filter bank multicarrier modulation systems[J].IEEE Trans. on Signal Processing，2013，61（1）：159-169.

[4]SHARMA K K，JOSHI S D，SHARMA S.Advances in Shannon sampling theory[J].Defence Science Journal，2013，63（1）：41-45.

[5]CHEN C K，LEE J H.Design of quadrature mirror filters with linear phase in the frequency domain[J].IEEE Trans. Circuits Syst，1992，39（9）：593-605.

[6]STANCIC G，NIKOLIC S.Digital linear phase notch filter design based on IIR all-pass filter application[J].Digital Signal Processing，2013，23（3）：1065-1069.

[7]RAO S S.Engineering optimization theory and practice[M]. New Delhi：New Age International（P）Limited，1998.

[8]UPENDAR J，GUPTA C P，SINGH G K.Designing of two channel quadrature mirror filter bank using Particle Swarm Optimization[J].Digital Signal Processing，2010，20（10）：304-313.

[9]KUMAR A，SINGH G K，ANAND R S.An improved method for the designing quadrature mirror filter banks via unconstrained optimization[J].J.Math.Model.Algorithm，2010，9（1）：99-111.

[10]OM P S，SONI M K，TALWAR I M.Marquardt optimization method to design two channel quadrature mirror filter banks[J].Digital Signal Process，2006，16（6）：870-879.

The subband pulse compression method based on quadratture mirror filter（QMF）banks

Gao Cuicui，Lin Ming，Qian Chunlei
（Department of Electronic Information，Jiangsu University of Science and Technology，Zhenjiang 212003，China）

For the problem that ultra-wideband（UWB）radar channel dropping filter isn′t ideal，which causes big error between subband pulse compression and direct pulse compression，a new method of subband pulse compression of UWB radar is presented. In the new method，nearly perfect-reconstruction two-channel quadrature mirror filter banks is designed at first.The objective function is formulated as a weighted sum of pass-band error and stop-band residual energy of low-pass prototype filter，and the square error of the distortion transfer function，which is minimized by unconstrained indirect update optimization method.The QMF replaces channel dropping filter.Compared with traditional subband pulse pressure method，simulation results show that the mainlobe to sidelobe and mainlobe width in proposed method are improved obviously.

ultra-wideband（UWB）radar；pulse compression；quadrature mirror filter banks；FIR prototype filter

TP335+.1

A

1674-7720（2015）19-0027-03

2015-06-01）

高翠翠（1990-），通信作者，女，硕士研究生，主要研究方向：信号理论与信息处理。E-mail：1103069951@qq.com。

林明（1960-），男，教授，硕士生导师，主要研究方向：雷达信号处理及高速实时信号处理。

钱春雷（1990-），男，硕士研究生，主要研究方向：信号理论与信息处理。