工科研究生数值分析课程教学的认识与改革

谭高山

(安徽工业大学 数理科学与工程学院，安徽 马鞍山 243002)



工科研究生数值分析课程教学的认识与改革

谭高山

(安徽工业大学 数理科学与工程学院，安徽 马鞍山 243002)

在工科研究生数值分析课程教学中针对教学时数少、教学实验缺乏等问题，整合教学内容、采用启发式教学、开展直观教学、加强实践教学、改革考核方式等对提高教学质量、培养学生科研和创新能力具有重要作用。

数值分析；工科研究生；教学改革

当今科学活动有三大手段：理论研究、科学试验和科学计算。面对比较复杂的具体问题时，理论分析往往无从下手，科学试验又具有很大的局限性，因而科学计算被推到了人类科学研究的前沿，大大拓展了人类科学活动范围，丰富了科学研究的内涵,数值分析是科学计算的基础和核心。[1]

数值分析在培养学生抽象思维能力和解决实际问题的能力等方面起着非常重要的作用。许多高校把数值分析作为工科研究生公共必修课和公共学位课，并且数值分析在自然科学、工程技术、经济管理，乃至人文社会科学中都有着重要的应用，因此数值分析课程的教学与改革[2,3]日益受到重视。

一、课程特点和教学现状

一是，内容多而杂，学生层次多，但教学时数少。从数学问题的来源和类型来看，数值分析包括：方程(组)求根、最优化方法、数值逼近论、统计计算、数理方程数值解等。目前工科硕士研究生的数值分析主要包括数值逼近、数值代数、方程求根。由于研究生招生规模大和招生类型多，学生知识层次差别大，而这门课的学时一般都比较少(目前我校只有36学时)。

二是，计算复杂，但复杂问题教学不够。数值分析是解决复杂问题的科学方法，通常都需要大量的计算。如果学生只做一些简单的数值模拟题，难以领会和理解计算要领和步骤，尤其不能体会问题的条件和限制范围。因而也就失去了数值分析解决大规模复杂问题的意义。而现阶段教学中，学生没有机会面向计算机解决复杂问题。

三是，理论方法抽象，直观性差，但教学实验缺乏。数值分析必须包含两个方面，连续系统的离散化和离散型方程的数值求解。经历了十多年的经典数学的解析求解方法的训练，学生对数值计算的解本身理解起来比较困难。譬如常微分方程数值解，实际教学中，学生很难理解为什么问题的解是一系列点，经常会把迭代得到的函数值当成问题的解，这违背了求解微分方程的初衷。离散、近似思想贯穿整个数值分析教学过程，学生已有的知识既对数值分析教学必不可少，但也形成了问题连续性求解的思维定势。另外，该课程一些基本的概念，如误差、稳定性、收敛性、计算复杂性的理解也很困难，只有通过不断的算法设计和分析才能理解这些概念。但在教学中，只注重讲授数值方法的原理，大量冗长而繁琐公式推导和算法的分析占用了整个教学过程的几乎所有时间，很少有学生实验、实践机会，因而也就不能充分调动学生的主动性。

二、课程教学改革实践

(一)精选教材，整合教学内容

受教学条件限制或者教学功利性影响，工科研究生数值分析课程的内容十分有限。应该将传统的数值逼近、数值代数、常微分方程数值解、偏微分方程数值解以及最优化等内容整合成一门课，这样不仅节约教学时数，也能系统培养学生科学计算能力，真正发挥助力专业研究的作用。笔者曾同时讲授过工科研究生的数值分析和最优化课，尝试将两者结合，效果十分理想。

工科研究生数值分析课程要求学生理解计算原理，掌握计算方法，最终使用各种算法，所以教学中可以淡化理论证明，强化算法思想和计算机实现，因此需要选择有侧重的方法讲解、算法设计和例题演算的教材。[4,5]对要求较高的专业，也可选用国外优秀教材，[6]让学生在学习专业知识的同时提高阅读外文文献的能力。

除了教材，合适的参考书也是必须的，因为学生知识层次复杂，可以按照难易程度分别指定参考书。在教学中还可以精编适合本校学生、本校专业的讲义，以便能在有限的学时内让学生更好地掌握数值方法，这对于提高教学效果十分有意义。

(二)改进教学方式和方法

由于研究生数值分析课程重视理论教学，实验教学几乎为零，学生修完课程后，面对实际问题仍然无从下手。因此，教师需要广泛吸取先进的教学经验，积极大胆进行教学改革。

一是从实际出发，注重问题引入，采用启发式教学。数值分析中设计的问题是从实际中提炼出来的数学模型，因此应尽量从实例中提出问题，引导学生寻找解决问题的方法，然后再给出相应的数学思想提出具体数值解决办法。当然也可以激发学生用已学过的方法来求解。如积分问题可以用学生熟悉的牛-莱公式不用去找原函数，甚至不需要知道被积函数，只需要函数上一些点，这是不是一件令人兴奋的事呢？又如线性方程组，学生可能会用初等变换法求解，如果是几十上百的线性方程组呢？如果方程解不唯一呢？如果是矛盾方程呢？这样既引入了线性方程组迭代解法，也给出了最小二乘思想。学生也进一步理解了解析方法与实际问题之间的差距，学习能力强的学生可能就会联想到一般线性方程组求解。

教学中还要注意“文化反哺”现象。学生是站在时代前沿的佼佼者，他们可能会有更多更新的问题和看法，教师要正确对待并加以引导。这也要求教师不断更新教学内容，及时将国内外最新研究成果有选择、有目的地结合课程内容介绍给学生。

二是借助Matlab平台，开展直观教学。以科学计算软件包Matlab为基础开发的20多个工具箱可用于解决诸多专业中的数值计算问题。该软件已经成为发达国家高等院校理工科必须掌握的基本软件，也是科学研究和工程设计部门解决具体问题的一种标准软件。

与抽象的内容相比，生动、直观的知识更易接受。Matlab强大的图像可视化功能可以实现教学中数形结合，将抽象的难于理解的内容直观的呈现给学生。一个典型的例子就是，多项式插值的Runge现象。初等数学对于低于三次的多项式有些直观介绍，但学生对于高次多项式并没有直观的印象。利用Matlab画出过函数f(x)=1/(x2+1),x∈[-5，5]上整点的10次多项式和原函数，震荡现象一目了然，插值误差也很清楚。

借助Matlab平台，是数值积分方法的改进、误差变小的过程，非线性方程求解的迭代过程，最小二乘拟合结果等等均能直观的呈现出来。

三是加强实践教学，培养应用能力。数值分析是一门应用性很强的计算课程，为了培养学生计算大规模问题的能力和对计算方法的实际应用能力，必须加强实践，但要防止从只会用笔算走向只会用现成的程序实现的另一个极端。通过简单的笔算虽然不能完全掌握算法的实现，但是对于学生理解算法步骤很有帮助。加强实践的一个重要方面就是典型算法要编程上机实现，写出实验分析报告。另一方面，课程结束后让学生解决自己专业中的一个数值问题，通过查阅资料、建立模型、设计算法上机、得到问题求解结果，学生可以体会到科研的整个过程，从而达到培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。教学实践表明，实践环节既能加深对知识的理解，帮助学生从会“算”到会“用”，又有助于培养学生解决实践问题的科学计算能力，还有助于培养学生探索和创新的精神。

例如，学生利用插值法处理有残缺的图像得到左上图后，觉得不是很理想，自己查阅资料找到双线性插值的方法，顺利完成了右上图，效果得到一定改善，接着又完成了后面两种插值方法的图像处理。课程结束后又实现了PDE理论在图像去噪中的应用，从而得到高质量的图像。如图1所示。

四是改革考核方式。传统的闭卷笔试难以全面衡量教学效果，数值分析课程本身特点决定了不可能在两个小时内完成大纲要求的基本的计算。笔者在教学中采用三种方式加权的考核方法：闭卷考试(规定时间独立完成)、数值实验报告提交(实验课作业)和算法在专业中的应用(课程结束后分组以小论文的形式提交)。不同专业权重不同。

[1]石钟慈．第三种科学方法——计算机时代的科学计算[M]．北京：清华大学出版社，2000：7-14.

[2]殷明，朱晓临，陈晓虹，陈国琪．计算方法课程改革的设想与实践[J]．大学数学，2006(5):15-17.

[3]涂俐兰．研究生“数值分析”课程教学初探[J]．高等理科教育，2009(5):70-73.

[4]施吉林，刘淑珍，陈桂芝．计算机数值方法[M]．北京：高等教育出版社，2009.

[5]任玉杰．数值分析及其Matlab实现[M]．北京：高等教育出版社，2007.

[6]Richard L.Burden，J.Douglas Faires．NumericalAnalysis(SeventhEdition)[M]．Thomson Brooks/Cole，2001.

(责任编辑 雷金火)

Understanding and Reform of Numerical Analysis for Graduates in Engineering Majors

TAN Gao-shan

(School of Mathematics and Physics, Anhui University of Technology, Ma'anshan 243002, Anhui, China)

Regarding problems in numerical analysis course teaching for engineering graduate students, such as lacking of teaching hours and teaching experiment, the practice of teaching content integration, the use of heuristic teaching method, the application of direct teaching, the enhancement of practice teaching, and the reform of assessment is vital to the improvement of teaching quality and the cultivation of students’ ability of scientific research and innovation.

numerical analysis; graduate students of engineering majors; teaching reform

2014-06-21

谭高山(1979-)，女，山东临沂人，安徽工业大学数理科学与工程学院讲师，博士研究生。

O241; G420

A

1671-9247(2015)04-0115-02