浅析用泛函模型解决矿产资源开发利用问题

王乐慈

(中国地质大学(北京)数理学院，北京 100083)

浅析用泛函模型解决矿产资源开发利用问题

王乐慈

(中国地质大学(北京)数理学院，北京 100083)

矿产资源合理利用是保障国家经济可持续发展的基本要求，如何有效利用矿产资源是经济问题也是管理问题。本文首先以矿产资源开发利用的最优化为目标，以微分方程和泛函变分的方法相结合，考虑储量、价格、采掘率、开采成本等要素，构建了一个泛函最大值模型来量化，从而用矿产资源开采模型确定不可再生矿产资源的最优采掘率的方案，即在矿产市场价格不低于一个与时间相关的函数值时，用最大开采率开采，否则停止开采。接着文章讨论了建立数学模型对矿产资源问题进行量化分析的局限性，阐述了运用数学方法解决矿产资源问题的思考，提出了矿产资源问题与数学方法相结合的有关建议。

矿产资源；数学方法；变分模型

矿产资源是人类生存与发展的物质基础，矿产资源是不可再生的资源，我国80%的工业制成品原料和95%的能源来自矿产资源，全国每年开采矿石70多亿t。我国的矿产资源种类比较丰富，部分矿种储量居世界前列，但人均占有量仅为世界水平的58%。2013年我国原煤产量36.8亿t，居世界第一位；原油产量为2.09亿t，居世界第四位；全国天然气产量1170.5亿m3，居世界第六位。粗钢产量为7.8亿t，占世界产量的一半。但是，我国主要矿产品消费对外依存度持续上升，据中国石油集团经济技术研究院发布了《2014年国内外油气行业发展报告》数据显示：2014年我国石油净进口约为3.08亿t，石油对外依存度达到59.5%；天然气进口量为590亿m3，对外依存度上升至32.2%；2014年，中国进口铁矿石9.33亿t，中国铁矿石的对外依存度进一步提高到78.5%。因此合理利用矿产资源是保障国家经济可持续发展的基本要求。节约和有效利用矿产资源，是经济问题也是管理问题，本文尝试运用数学方法来解决矿产资源开发利用的最优化问题，同时对将数学分析方法应用于解决矿产资源问题提出一定的思考和建议。

1 矿产资源开发利用的可量化分析

1.1 矿产资源开发利用的最优化目标

对于矿产资源的开发与利用，首先需要考虑的是矿产资源的不可再生性。矿产资源会面临枯竭，因此必须进行开采管理与强度控制，防止资源过度开采，以达到可持续发展的目标；其次需要考虑的是矿产资源开发利用的经济性。矿产资源开发利用的主体是矿山企业，矿山企业的最优化行为是在既定的价格水平上，确定矿产资源的开采与否，从而实现利润最大化。以矿产资源储量、矿产品的价格、采掘率、以及开采成本等作为矿产资源经济结构的基本构成因素，探讨如何在不破坏环境可持续发展的前提下，通过对一些变量加以控制，例如采掘率，创造最大收益。

1.2 矿产资源开采模型构建

1.2.1 基础模型

建立矿产资源开采数据模型进行分析，模型的基本思路是将微分方程和泛函变分方法相结合，在简化的条件下，建立一个泛函最大值模型来量化，从而确定最优采掘率的方案。

首先做出假设：假设矿产资源的可采储量，采掘率与矿产资源的价格均为与时间有关的函数，分别设为x(t)、q(t)、p(t)；假设政府特殊政策和税金不考虑在内，总收益j(t)仅与价格p和贴现率δ有关；假设自然灾害等特殊情况造成的经济损失不考虑在内。

下面我们求解模型：设x=x(t)为t时刻某矿区的矿产资源可采储量，其初始可采储量为x(0)=R>0。已知，q=q(t)表示与采掘时间有关的采掘率，于是建立如式(1)所示线性微分方程的柯西问题。

(1)

假设t1时刻矿石开发枯竭，即x(t1)=0，而最大采掘率设为qmax。该方程为矿物可采储量的简化的数学模型。

设该种矿石的购买价格为p=p(t)，假设p(t)是已知的，矿山管理者的目标是使收益最大，设贴现率为δ>0，则时刻t的收益j=j(t)满足柯西问题，见式(2)。

(2)

其中j0即现值，解得j=j0eδt，故现值j0=e-δtj(t)，则对于上述开采问题，其总现值J1为：

1.2.2 模型结果

首先，为了求最大值，构造哈密顿函数(式(3))。

(3)

其中γ(t)为伴随变量。

下面根据泛函变分的最大值原理，求解满足伴随方程(式(4))的最优控制方案。

(4)

若使H1达到最大值，则需要取

该结果即为最佳开采控制方案，反映了矿石市场价格与矿山开采采掘率的数学关联。

当矿产市场价格不低于γe-δt时，矿山企业用最大采掘率qmax进行开采；而当矿产市场价格不足γe-δt时，停止开采。理论上，按照当前分析结果执行，将达到最优化结果，既能够有利于矿产资源的可持续发展，又能实现矿产企业的利润最大化，同时还能满足国家对矿产资源的需求。

1.2.3 模型优化

上述模型是一个简化版的模型，从矿产资源开采的专业角度分析，还可以将更多的因素考虑进去，加以改善。作为补充，考虑采掘成本因素，即设含有因素情况下的最优控制，假设为采掘率的单调函数(一般情况下是增函数)，此时的总现值变为：

其哈密顿函数为：

利用泛函变分的最大值方法可以解出：

将视为固定值，利用坐标系画图方法分析上述方程，即可分析出在曲线y=c(q,t)和曲线y=[p(t)-γeδt]q相交的情况下，最优采掘率q的确定即为曲线c(q,t)在斜率为p(t)-γeδt处的横坐标；其余情况采掘率q均为零。

1.3 结果分析

数学模型构建的目的是使目标泛函即收益总现值的最大化，通过构造哈密顿函数和伴随方程，在导数为零取极值点的条件下，求得极大值即可行域内最大值，即可求得采矿率的最优控制。

作为可耗竭的不可再生资源，矿产资源的开发必须遵循可持续发展原则。构造该数学模型是要量化地阐明，只有在矿产价格水平达到一定水平时，矿山企业才能够按照一定强度进行开采，从而获得最大化的收益；而当矿产价格水平低于该水平时，应停止开采工作，从而最大限度的保护矿产资源。

2 应用数学模型分析矿产资源问题的局限性

一是假设因素对现实复杂情况的模拟不足。运用数学方法分析问题时，一般需要进行前提假设，而假设往往会忽略一部分对整体问题影响较小或极为特殊情况的现实因素。虽然这些因素在假设条件成立时产生的影响较小或发生概率极低可以忽略，但当数据较大或运算次数较多时，被忽略的因素可能会在一定程度上对数学模型分析结果造成干扰，影响结果的准确性。

二是误差因素对模型结果准确性的影响。数值计算时所产生的误差是一个影响分析结果准确性的主要因素。理论上来说，利用数值分析中的算法改进模型，以此可以减少误差，但一般情况下，误差因素是没有办法完全消除的。

三是数学模型使用范围的局限性。每一个数学模型都有一定的适用范围与局限性，当遇到的现实问题条件与所使用的数学模型条件不完全相符时，需要对模型进行调整与改进，使其尽量贴近现实因素，而不能完全地套用模型中的方法。数学模型不是完美的，会有其系统自身的局限性，无法直接套用特定的模型解答现实问题，只能用模型来近似模拟出所期望的现实情况，从而获得最贴近的答案。如上文所述建立的微分模型可以给出一个较优化的方案，但不一定是最优方案，只是能够在一定程度上提供参考和建议。

四是主观因素对数学模型客观性的影响。数学建模分析师对矿产开发专业的认知熟悉程度、对一些因素假设的主观认知判断等主观因素，将对于建立数学模型和分析的结果产生重要的影响。因此，应用数学模型分析矿产资源问题还是存在一定局限性的。

3 运用数学方法解决矿产资源问题的意义

在矿产资源研究领域，许多研究者往往习惯于运用定性方法来分析问题，主要依靠分析者的直觉、经验及主观的理解，依靠分析对象过去和现在的延续状况及最新的信息资料，对分析对象的性质、特点、发展变化规律做出判断，用文字阐述问题大体的解决办法，对于需要具体解决办法的问题只能进行政策性或措施性的解决方法描述。

应用数学定量的方法可以通过运用数学语言进行描述，依据统计数据，建立数学模型，用数学模型计算出分析对象的各项指标及其数值，具有更高的准确性和严密性，能够使数据与方法相结合，使构造出的模型更适应于解决问题，能够在更精确更完善的层面对问题进行分析和解答，使解答过程如数学计算般严密。

全面的分析方法应该是把定量分析和定性分析结合的分析方法。定性分析与定量分析是统一的相互补充的。定性分析是定量分析的基本前提，没有定性的定量分析是盲目的分析；定量分析使定性更加科学、准确，定量分析能够在更具体的方面给出较为精确的评价，给模糊的评判标准赋予了具体的数字描述，定量分析可以使定性分析得出深入的结论。与此同时，定量分析则必须建立在定性预测基础上，二者相辅相成，定性是定量的依据，定量是定性的具体化，二者结合起来灵活运用才能取得最佳效果。

在技术经济研究领域，技术经济分析方法已经非常完善和成熟。有学者统计，近几年所涉及到的技术经济分析方法大体约二十余种。主要包括：传统成本效益分析及在此基础上发展的全生命周期分析法、实物期权法、蒙特卡洛模拟，将定性分析转化成定量数据的群组决策法、层次分析法、模糊综合评价法，运用权重分析的熵值法、BP神经网络法，可进行最优分析的数据包络分析法、灰色关联分析、多属性决策法、多目标决策法、模拟退火算法和支持向量机法，能够简化复杂问题的指数分解法、动态规划法、因子分析法和系统动力学模型，多种方法集成的AFAD法、模糊神经网络和灰色模糊聚类法等等。

数学分析方法已经在矿产资源勘查、开发、利用以及矿产经济效益方面的应用颇为广泛。用回归分析和灰度预测模型进行矿产资源储量或需求量以及其他方面的模拟和预测，对发展趋势的模拟可以为政府部门的政策制定提供依据和参考。运用层次分析法来评判各项指标及总体结构，常被学者用来评价相关体系结构。除此之外，各种数学模型被经常运用来进行优化分析，如上述的泛函最大值模型的使用等。

[1] 中华人民共和国国土资源部.2014中国矿产资源报告[M].北京：地质出版社，2014：15.

[2] 姜启源，谢金星，叶俊.数学模型 [M].第三版.北京：高等教育出版社，2003.

[3] 吕薇，沈恒超.技术经济分析方法发展综述[R].北京.国务院发展中心调查研究报告专刊20期，2014.

Simply analysis of using function model to solve the problems of exploiting and utilizing mineral resources

WANG Le-ci

(School of Science，China University of Geosciences( Beijing)，Beijing 100083，China)

The rational utilization of mineral resources is a fundamental requirement to guarantee the sustainable economic development of our country，how to utilize mineral resources effectively is a problem in both the aspects of economy and management.In this paper，we firstly put the optimization of exploiting and using mineral resources as the target，combined differential equation with calculus of variation，and took reserves，prices，exploiting rate and cost of mining into consideration to build a model of maximum of function for quantification in order to formulate the optimalscheme of exploiting rate：If the price of ore market is higher than a function value that related with time，we should exploit it with the maximum exploiting amount，otherwise stop mining.Next we discussed the limitation of building mathematical model to analyze the problems of mineral resources，expounded thinking of using mathematical method to solve these problems，and put forward advices of combining problems with themethod.

mineral resources；mathematical method；calculus of variation model

2014-08-04

王乐慈(1994-)，女，中国地质大学(北京)数理学院数学与应用数学专业2012级本科生。

F407.1

A

1004-4051(2015)05-0046-03