不定方程x3－125＝2pqy2的整数解研究

李润琪

（德宏师范高等专科学校数学系，云南 芒市 678400）

不定方程x3－125＝2pqy2的整数解研究

李润琪

（德宏师范高等专科学校数学系，云南 芒市 678400）

设p，q为奇素数，p≡13（mod 24），q≡19（mod 24）．运用Legendre符号的性质、同余的性质等得出了不定方程x3－125＝2pqy2无正整数解的一个充分条件．

不定方程；整数解；同余；Legendre符号；奇素数

方程：

是一类基本而重要的三次不定方程，但目前结果还不多见，当D不能被6k＋1形素数整除时其结论主要见文献［1－2］；当D能被6k＋1形素数整除时其结论主要见文献［3－8］．本文主要讨论D含2，同时含2个6k＋1形素因子方程x3－125＝Dy2的整数解的情况．

引理1［9－10］设p，q，r为奇素数，p≡13（mod 24），q≡19（mod 24），，则Diophan⁃ tine方程x3－1＝2pqry2仅有平凡解（x，y）＝（1，0）．

定理1 设p，q为奇素数，p≡13（mod 24），q≡19（mod 24）为奇素数，Legendre符号值，则不定方程：

仅有平凡解（x，y）＝（5，0）．

证明 当x≡0（mod 5）时，令x＝5x1，则方程（2）可化为：

故由引理1得：方程（4）仅有平凡解（x1，y1）＝（1，0），所以此时方程（2）仅有平凡解（x，y）＝（5，0），故当x≡0（mod 5）时方程（2）在题设条件下仅有平凡解（x，y）＝（5，0）．

当x≢0（mod 5）时，此时5｜／（x－5），则方程（3）为gcd（x－5，x2＋5x＋25）＝1或3，又x2＋5x＋25≡0（mod 2），则方程（2）可分解为以下8种可能的情形：

情形Ⅰ：x－5＝2pqa2，x2＋5x＋25＝b2，y＝ab，gcd（a，b）＝1；

情形Ⅱ：x－5＝2pa2，x2＋5x＋25＝qb2，y＝ab，gcd（a，b）＝1；

情形Ⅲ：x－5＝2qa2，x2＋5x＋25＝pb2，y＝ab，gcd（a，b）＝1；

情形Ⅳ：x－5＝2a2，x2＋5x＋25＝pqb2，y＝ab，gcd（a，b）＝1；

情形Ⅴ：x－5＝6pqa2，x2＋5x＋25＝3b2，y＝3ab，gcd（a，b）＝1；

情形Ⅵ：x－5＝6pa2，x2＋5x＋25＝3qb2，y＝3ab，gcd（a，b）＝1；

情形Ⅶ：x－5＝6qa2，x2＋5x＋25＝3pb2，y＝3ab，gcd（a，b）＝1；

情形Ⅷ：x－5＝6a2，x2＋5x＋25＝3pqb2，y＝3ab，gcd（a，b）＝1．

下面分别讨论这8种情形下方程（2）的解的情况．

情形Ⅰ 由x2＋5x＋25＝b2解得：x＝－21，－8，－5，0，3，16代入x－5＝2pqa2，得：2pqa2＝x－5＝－26，－13－10，－5，－2，11，显然无解，故该情形方程（2）无整数解．

情形Ⅲ 因为x2＋5x＋25＝x（x＋5）＋25，而x与x＋5奇偶性不同，故x（x＋5）为偶数，则x（x＋5）＋25为奇数，即x2＋5x＋25为奇数．又p≡13（mod 24）为奇素数，则由x2＋5x＋25＝pb2得：b2为奇数，即b2≡1（mod 8），则pb2≡5（mod 8）．

因为q≡19（mod 24），由a2≡0，1，4（mod 8）得：2qa2≡0，6（mod 8），则x＝2qa2＋5≡3，5（mod 8），故有x2＋5x＋25≡1，3（mod 8），则有1，3≡x2＋5x＋25＝pb2≡5（mod 8），矛盾，故该情形方程（2）无整数解．

情形Ⅳ 因为x2＋5x＋25为奇数，又p≡13（mod 24），q≡19（mod 24）为奇素数，则由x2＋5x＋25＝pqb2得：b2为奇数，即b2≡1（mod 8），则pqb2≡7（mod 8）．

由a2≡0，1，4（mod 8）得：2a2≡0，2（mod 8），则x＝2a2＋5≡5，7（mod 8），故有x2＋5x＋25≡3，5（mod 8），则有3，5≡x2＋5x＋25＝pqb2≡7（mod 8），矛盾，故该情形方程（2）无整数解．

情形Ⅶ 因为x2＋5x＋25为奇数，又p≡13（mod 24）为奇素数，则由x2＋5x＋25＝3pb2得：b2必为奇数，即b2≡1（mod 8），则3pb2≡7（mod 8）．

因为q≡19（mod 24），由a2≡0，1，4（mod 8）得：6qa2≡0，2（mod 8），则x＝6qa2＋5≡5，7（mod 8），故有：x2＋5x＋25≡3，5（mod 8），则有：3，5≡x2＋5x＋25＝3pb2≡7（mod 8），矛盾，故该情形方程（2）无整数解．

情形Ⅷ 因为x2＋5x＋25为奇数，又p≡13（mod 24），q≡19（mod 24）为奇素数，则由x2＋5x＋25＝3pqb2得：b2为奇数，即b2≡1（mod 8），则3pqb2≡5（mod 8）．

由a2≡0，1，4（mod 8）得：6a2≡0，6（mod 8），则x＝6a2＋5≡3，5（mod 8），故有x2＋5x＋25≡1，3（mod 8），则有：1，3≡x2＋5x＋25＝3pqb2≡5（mod 8），矛盾，故该情形方程（2）无整数解．

综上有：当x≡0（mod 5）时方程（2）在题设条件下无整数解．

综上所述，不定方程（2）在题设条件下仅有平凡解（x，y）＝（5，0）．

［1］李复中.关于丢番图方程x3±125＝Dy2［J］.东北师范大学学报：自然科学版，1996（3）：15－16.

［2］李复中.关于一类丢番图方程x3±（5k）3＝Dy2［J］.东北师范大学学报：自然科学版，1998（2）：16－19.

［3］普粉丽，杜先存.关于不定方程x3±53＝3Dy2［J］.海南大学学报：自然科学版，2013，31（4）：292－294.

［4］杜先存，刘玉凤，管训贵.关于丢番图方程x3±53＝3py2［J］.沈阳大学学报：自然科学版，2014，26（1）：85－87.

［5］万飞，杜先存.关于丢番图方程x3±53＝3py2的整数解［J］.湛江师范学院学报，2014，35（3）：5－6.

［6］普粉丽，杜先存.关于Diophantine方程x3－53＝py2的解的研究［J］.延安大学学报：自然科学版，2013，32（4）：10－11.

［7］廖军，杜先存.关于Diophantine方程x3－53＝2Dy2的整数解［J］.长沙大学学报：自然科学版，2014，28（2）：7－8.

［8］廖军.关于不定方程x3＋53＝Dy2的整数解［J］.湖北民族学院学报：自然科学版，2013，31（3）：275－277.

［9］管训贵.关于Diophantine方程x3±1＝2pqry2的整数解［J］.郑州大学学报：理学版，2015，47（2）：49－52.

［10］钱立凯，杜先存.关于不定方程x3±27＝py2［J］.西南民族大学学报：自然科学版，2013，39（4）：580－581.

［11］鲁伟阳，高丽，郝虹斐.关于不定方程x3－1＝3Dy2整数解的讨论［J］.云南民族大学学报：自然科学版，2013，22（4）：264－265.

责任编辑：时 凌

On the Indefinite Equation x3－125＝2pqy2

LI Runqi
（College of Mathematics，Dehong Normal College，Mangshi 678400，China）

Let p，q be odd primes，p≡13（mod 24），q≡19（mod 24）．By using the nature of Legendre symbol and congruent，one sufficient condition is obtained that the indefinite equation in title has no inte⁃ger solutions.

indefinite equation；integer solution；congruent；Legendre symbol；odd prime

O156.1

A

1008－8423（2015）03－0268－02

10.13501／j.cnki.42－1569／n.2015.09.009

2015－06－28.

云南省教育厅科学研究项目（2014Y462）.

李润琪（1965－），男，讲师，主要从事初等数论及数学教育的研究.