基于忆阻器的van der Pol 混沌系统的线性反馈同步控制

罗方玲

(广西大学电气工程学院，广西 南宁 530004)

基于忆阻器的van der Pol 混沌系统的线性反馈同步控制

罗方玲

(广西大学电气工程学院，广西 南宁 530004)

基于忆阻器的van der Pol 混沌系统的混沌特性，采用了线性反馈同步的控制方法，给出了基于忆阻器的van der Pol 混沌系统实现同步的控制参数的取值范围，并通过数值仿真论证了该方法的可行性。

忆阻器；van der Pol混沌系统；线性反馈控制；混沌同步

1 引言

1990年，美国海军实验室的L.M.Pecora和T.L.Carroll首次提出了一种混沌同步的控制方法——变量替换同步法[1]。以及后来的学者们先后提出了一系列行之有效的混沌同步的控制方法。例如，自适应控制同步法[2]，连续变量反馈同步法[3-4]，相互耦合同步法[5]等，这些混沌同步的方法各有其特点和相应的应用范围，其中的线性反馈同步控制的方法，由于其结构简单并且在物理上易于实现而得到广泛的应用。该方法主要是基于李雅普诺夫稳定性理论，构造一个正定的李雅普诺夫函数，经过数学推导过程，得到同步控制参数的取值范围[6-7]。但是，对于某一些特定的混沌系统而言，要构造其正定的李雅普诺夫函数并非易事。因此，对于混沌同步控制参数取值范围的研究具有重大的理论现实意义。

本文运用线性反馈同步控制法，根据文献[8]提出的同步控制参数的取值范围只要大于van der Pol混沌系统的最大李雅普诺夫指数，即可实现混沌同步。最后通过数值仿真证实了该控制方法的可行性和有效性。

2 线性反馈同步控制原理

考虑如下的混沌系统：

(1)

以系统(1)为主系统，构造一个从系统：

(2)

运用线性反馈同步控制后的受控系统：

(3)

令X=X1-X2，则式(3)可改写为：

(4)

式中F=(f1，f2，…，fn)T，X1=(x11，x12，…，x1n)T，X2=(x21，x22，…，x2n)T，X=(x1，x2，…，xn)T为N维状态空间向量，K=diag[k1,k2,…,kn]T为线性反馈控制参数。

要确定线性反馈控制参数的取值范围，使得式(4)中的第二个状态方程渐进稳定于零平衡点，才能最终实现混沌同步。

(5)

式中λi(X2)、λi(X1)分别为系统(1)、系统(2)的李雅普诺夫指数。

对于系统(3)有

(6)

对于系统(4)有

D=D(X1)+D(X)

(7)

由(5)～(7)式可得

(8)

两个混沌系统要达到同步，就要使得误差系统的最大李雅普诺夫指数小于零，有

(9)

令k-k1=…,kn，设λmax=max(λ1,λ2,…,λn)，可得结论如下：

当选取控制参数k>λmax时，运用线性反馈同步控制方法，可以控制不同初始值的混沌系统达到同步。

3 基于忆阻器的van der Pol 混沌系统的线性反馈同步控制及数值仿真

基于忆阻器的van der Pol低频振荡电路如图1所示[10]。

以忆阻器的磁通φ和电容电压uc为状态变量，由基尔霍夫电压及电流定律得到基于忆阻器的van der Pol低频振荡电路的状态方程如下，并设为主系统：

(10)

图1 基于忆阻器的van der Pol低频振荡电路

其中，W(φ)是忆阻器的电导，这里我们取W(φ)=aφ2+b。

设x1=φ，y2=uc，则式(10)可改写为：

(11)

当A=9，ω=13，ε=0.1，δ=64，ω0=10时，基于忆阻器的vanderPol混沌系统的时域波形及相图如图2所示。

图2 van der Pol混沌系统的时域波形

对上述系统加入控制项后的数学模型为：

(12)

其中k1，k2为同步控制参数，令e1=x2-x1，e2=y2-y1，则由式(12)减去式(11)得到误差动力系统为：

(13)

通过数值计算可容易得到基于忆阻器的van der Pol混沌系统的最大李雅普诺夫指数λmax，λmax=0.0012。

令k=k1=k2，根据上述结论，当k>λmax，即k>0.0012时，基于忆阻器的van der Pol混沌系统可实现同步控制。

取驱动系统初始值x1(0)=-0.4，y1(0)=1，响应系统初始值x2(0)=-1，y2(0)=2，取k=10，当e1→0，e2→0时，两混沌系统能够达到同步。图3为响应系统的时域波形及相图。图4为系统状态变量的同步误差，从图中可以看到，同步误差很快速地衰减为零，即响应系统能够迅速地与驱动系统达到同步。

图3 van der Pol混沌系统的时域波形及相图

图4 系统状态变量的同步误差

4 结论

根据控制参数大于混沌系统最大李雅普诺夫指数来确定线性反馈控制参数的方法，通过数值仿真表明，该方法能够使基于忆阻器的van der Pol混沌系统在不同初始值的情况下实现系统的完全同步。

[1] Pecor L M,Carroll T L.Synchronization in chaotic systems[J].Phys Rev Lett,1990,64(8):821-824.

[2] 关新平,范正平,彭海朋,等.扰动情况下基于RBF网络的混沌系统同步[J].物理学 报,2001(9):1670-1674.

[3] 陈志盛,孙克辉,张泰山.Liu混沌系统的非线性反馈同步控制[J].物理学报,2005(6):2580-2583.

[4] 高铁杠,陈增强,袁著祉.基于部分变量反馈的混沌系统控制[J].物理学报,2004(10):3274-3279.

[5] 王铁邦,覃团发,陈光旨.超混沌系统的耦合同步[J].物理学报,2001(10):1851-1855.

[6] 王建根,赵怡.Chen系统和一类统一混沌系统的同步控制[J].电路与系统学报,2004,(6):57-60+18.

[7] 马军,唐国宁.一类四维超混沌系统的同步研究[J].电路与系统学报,2003(6):125-128.

[8] 王发强,刘崇新.Liu混沌系统的线性反馈同步控制及电路实验的研究[J].物理学报,2006(10):5055-5060.

[9] 陈关荣,吕金虎.Lorenz系统族的动力学分析、控制与同步[M].北京:科学出版社,2003:226.

[10] 贺少斌.基于忆阻器的非线性电路特性研究[D].广西大学，2013.

The Linear Feedback Synchronization Control Based on Van der Pol Chaotic Control of the Memristor

LUOFang-ling

(Electrical Engineering College of Guangxi University,Nanning 530004,China)

Based on the chaotic charactistic of van der Pol chaos system of the memristor,the control method of the linear feedback synchronization has been adopted in the paper.Give the sampling range reaching synchromization control parameters based on van der Pol chaotic system of the memristor.And the feasibility of this method has been proved by numerical simulation.

memristor;van der plo chaotic system;linear feedback control;chaotic synchromization

1004-289X(2015)02-0036-03

TM71

B

2014-03-26

罗方玲(1988-)，女，广西宾阳县，硕士研究生，研究方向：电力电子系统分析与控制。