三维模型中的多普勒功率谱分析*

米 杨，张晓瀛，魏急波

(国防科技大学电子科学与工程学院，湖南长沙 410073)

三维模型中的多普勒功率谱分析*

米 杨，张晓瀛，魏急波

(国防科技大学电子科学与工程学院，湖南长沙 410073)

多普勒效应是移动通信中最常见的现象，研究多普勒功率谱密度的分布，对建立更准确并贴合实际的无线信道模型具有重大意义。分析了两种不同几何模型中的多普勒功率谱，重点讨论了三维模型中入射波到达角度对多普勒功率谱的影响，仿真结果表明，方位角和高度角的分布及最大角取值范围共同决定了多普勒功率谱的分布特性。

多普勒功率谱；到达角分布；三维模型

0 引 言

在无线通信系统中，由于多径、散射环境等的影响，移动信道会产生频率色散，即基站发出的频域脉冲信号，经过多普勒频移，使得接收信号的频率范围展宽，造成色散[1]。作为描述频率色散的重要特征，多普勒功率谱在信道建模和信道估计中起着至关重要的作用。传统的多普勒功率谱分析假设电磁波只存在水平面，没有考虑整个三维空间中的信号传播。然而在实际环境中，由于遮挡物高度的影响，在二维平面内分析多普勒功率谱是不准确的，因此需要综合分析三维空间中多普勒功率谱，使信道建模更加贴近实际。

在对多普勒功率谱的传统研究中，研究者大多使用Clark模型，该模型是一种经典的二维模型[2]。Aulin首次提出了分析多普勒谱的三维模型[3]，在此之后，不断有学者研究高度角分布对多普勒谱的影响，更接近全球移动通信系统(Global system for Mobile，GSM)角度功率谱分布的高斯分布[4]和更符合1 800 MHz数字蜂窝移动通信系统(Digital Cellular System 1 800 MHz, DCS1800)的拉普拉斯分布[5]相继被应用。本文首先给出二维模型下的多普勒功率谱推导，重点分析三维几何模型下的多普勒功率谱特性及到达角对其产生的影响，并结合实测数据总结三种常见多普勒功率谱，分析其产生条件及应用环境。

1 几何模型

由于移动端的运动，信号传播过程中会产出多普勒频移。设移动端相对于基站的运动速度为v，其运动方向与基站的夹角为θ，则多普勒频移为：

(1)

由(1)式可知，影响多普勒频移的因素为载频fc，移动速度v和角度θ。其中，载频fc只决定多普勒功率谱的中心频率，并不改变功率谱分布特性。下面分别给出二维、三维几何模型并在此基础上对多普勒功率谱进行分析。

图1(b)给出了空间三维几何模型，该模型中考虑了信号在非水平面的传播。如图所示为信号传播中的任意一径，假设移动端在水平面(x-y面)上运动，信号经散射体到达移动端，将x-y面称作方位角平面，过散射体和移动端且垂直于x-y的平面称为高度角平面，散射体和移动端的连线与在x-y面上投影所成的夹角β为高度角，投影和运动方向所成的夹角α为方位角。到达角θ和方位角α、高度角β的关系如下[6]：

cosθ=cosα·cosβ

(2)

考虑多径情况，在如图1所示的几何模型中，带通接收信号的等效低通信号可以写成如下形式：

(3)

(a)二维几何模型

(b)三维几何模型

接收信号的自相关函数为：

女子被土狼袭击之后，青辰曾近距离地观察过那伤口，很深。那时与现在只隔着六七个时辰，但现在的伤口，却似乎比那时要浅着许多。青辰望向其他人，其他人似乎并没有注意到这种异象。

(4)

将式(2)代入上式，可得三维模型下的接收信号自相关函数为：

(5)

对自相关函数做傅里叶变换，可得到接收信号的多普勒功率谱，即:

(6)

为了表述的统一，在此指出，在二维模型下讨论到达角θ，等同于对方位角α进行分析；在三维模型下讨论到达角θ，需分别讨论方位角α和高度角β。本文将先在二维模型中分析多普勒功率谱的特性；再扩展到三维模型中，分析方位角分布一定时，高度角对多普勒功率谱的影响。

2 二维模型中的多普勒功率谱分析

(7)

式中J0为第一类0阶贝塞尔函数。将该式代入到式(6)，可得到α服从均匀分布时的多普勒功率谱的表达式为:

(8)

式(8)即为U型谱的基本表达式，表明功率谱以载波为中心，分布在±fm之间。多普勒功率谱仿真曲线如图2所示。

图2 Jakes功率谱密度

图3 大散射体簇场景

图4 大散射体簇对应多普勒谱

除到达角的分布外，移动速度v同样对多普勒功率谱特性产生影响，其影响体现在移动速度可以改变最大多普勒频移，进而改变多普勒扩展。以经典Jakes U型谱为例，下面给出移动速度v对多普勒功率谱影响的仿真结果。设信道环境为瑞利衰落信道，采样时间为2×10-4，采样点数为5 000，最大多普勒频移fm分别为10 Hz，30 Hz和100 Hz，对应的多普勒功率谱密度如图5所示。

从图中可以看出，当fm=100 Hz时，多普勒功率谱为经典U型谱，随着最大多普勒频移的减小，多普勒扩展逐渐减小，功率谱中两个峰靠近。当最大多普勒频移减小到约10 Hz时，功率谱由U型演变为尖窄型，功率谱密度主要集中在中心频率附近。

综合以上仿真分析可知，在二维模型中，主要存在U型谱和尖窄型谱两种多普勒功率谱，在移动速度缓慢或散射体集中的场景中，多普勒功率谱体现为尖窄型谱；而在移动速度较快或散射丰富且分布广泛的环境中，则主要体现为U型谱。

图5 不同移动速度对应的多普勒功率谱

3 三维模型高度角对多普勒谱的影响

如式(2)所示，为了便于分析三维空间模型中的多普勒功率谱，将入射波的到达角分为方位角和高度角两部分讨论。本文第二节给出了方位角变化和多普勒功率谱的一般规律，下面将分析高度角分布和取值范围对多普勒功率谱的影响。

高度角β分布可大致分为以下几类：Aulin提出的分布模型[3]、高斯分布[4]、拉普拉斯分布[5]、Parsons提出的分布模型[6]及双边指数分布[8]。Aulin在文献[3]中首次将入射波的到达角引入三维空间，为得到自相关函数和多普勒功率谱的闭合表达式，他提出一种高度角的PDF表达式，该分布便于进行数学推导，但后来被证明并不贴近实际。Parsons在文献[6]中对Aulin模型进行了分析并提出了更贴近实际的高度角分布，在此基础上，不断有学者改进或提出适用于不同场景的高度角分布，本文选取Aulin和Parsons分布进行仿真分析。

(9)

该式在一般情况下无法得到确切的解析表达式，因此Aulin提出了如下所示的β分布，当β服从式(10)分布时，对R(τ)做傅里叶变换可以得到闭合表达式：

(10)

式中βm是β可以达到的最大值，β的取值限定在±βm之间。该角度分布特性的PDF曲线如图6中的(a)所示，其对应的多普勒功率谱如式(11)所示[3]，其仿真结果由图6 (b)给出，仿真中βm的取值分别为10o、15o、30o和45o。

(11)

(a)服从Aulin分布的p(β)

(b)服从Aulin分布的多普勒功率谱

然而，从图6(a)中可以看出，该分布在±βm处存在断点，其原因是表达式在±βm处有趋近于正负无穷的值。Aulin仅在文献中证明了在βm很小时，该分布是符合实际的，但随着βm的增大，对应的功率谱和实际有一定偏差。为了避免角度分布中断点的出现，Parsons提出了一种更加贴近实际的β分布，其表达式如下：

(12)

将上式代入到式(9)中，可得到自相关函数为：

(13)

对其做傅里叶变换可得到相应的多普勒功率谱，服从该角度分布的PDF曲线和多普勒谱如图7所示。

(a)Parsons分布的p(β)

(b)Parsons分布的多普勒谱

由图7(b)可以看出，多普勒功率谱的变化规律和Aulin谱相似：βm越小，其功率谱密度越接近U型谱，在±fm出存在尖峰，当βm<15o时，功率谱密度分布近似为U型谱，高度角对其影响很小；反之，βm越大，高度角对谱密度影响越大，f趋近于±fm处越平坦。

综合分析图6(b)和图7(b)，可以看出高度角取值范围βm对多普勒功率谱影响的一般规律：在βm取值很小时，多普勒功率谱近似于U型谱，随着βm的逐渐增大，功率谱两端的峰值逐渐降低，谱函数整体趋于平坦。此外，对比图6(b)和图7(b)，可以看出高度角分布特性不同，多普勒谱密度的分布也随之改变，在f趋近于±fm处尤为明显，但与方位角分布不同的是，高度角分布的不同仅对多普勒功率谱产生小幅度影响，并不会彻底改变其分布特性。

上文仿真得到的角度取值范围对多普勒功率谱的影响，在实测中已得到证实。XiongwenZhao[9]等人对5.3GHz下移动环境多普勒功率谱特性进行了测量，图8给出了其测量结果并总结了一般规律。

如图8所示，测量结果显示，移动通信的功率谱可大致归纳为三种形状：即U型谱、尖窄型谱和平坦谱。当方位角分布均匀且分散，高度角取值范围较小时，功率谱表现为图8(a)中所示U型谱；当方位角和高度角均集中在较小的范围内时，体现为(b)中所示的尖窄型谱；当方位角和高度角取值范围都较大时，体现为(c)中的平坦谱[9]。

(a)U型谱

(b)尖窄型谱

(c)平坦谱

4 结 语

本文首先给出了研究多普勒功率谱的二维和三维几何模型，在二维模型的基础上推导了方位角均匀分布情况下的经典U型功率谱，并分析了尖窄型功率谱的适用场景及物理意义。此外，作为三维模型的特点，重点分析和仿真了不同高度角分布及取值范围下的多普勒谱，并通过实测结论给出一般规律。通过分析可知，在三维空间模型中，多普勒功率谱受方位角和高度角的共同制约。

除本文分析的因素之外，MIMO系统中天线模式和极化方式也影响着多普勒功率谱。另外，近年来研究者们不断探究高铁、隧道和海面等环境的多普勒效应，高移动速率、跳频和海杂波等将逐渐成为研究和估计多普勒功率谱的重要因素[10-12]，对这些因素进行深入研究，有助于建立更符合实际的信道模型，以适应新的场景和更高的移动速度。

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Doppler Power Spectrum Analysis in 3D Model

MI Yang, ZHANG Xiao-ying, WEI Ji-bo

(School of Electronic Science & Engineering, NUDT, Changsha Hunan 410073, China)

Doppler shift is one of the most common phenomena in mobile communication. Study on the distribution of Doppler PSD (Power Spectrum Density) is of great significance in constructing a more accurate and realistic wireless channel model. Doppler power spectrums in two different geometric models are analyzed and the influence of incoming wave’s arrival angle on Doppler power spectrum in 3D(three-dimensional) model is discussed in detail. Simulation results show that the distribution of azimuth angle and elevating angle and the value range of maxmum-angle jointly determine the distribution characteristics of Doppler power spectrum.

Doppler spectrum; arrival angle distribution; 3D model

date:2015-01-17；Revised date：2015-03-17

TN92

A

1002-0802(2015)04-0404-06

米 杨(1990—)，女，硕士研究生，主要研究方向为无线信道建模;

张晓瀛(1980—)，女，博士，讲师，主要研究方向为无线信道建模;

魏急波(1967—)，男，博士，教授，主要研究方向为现代通信技术、软件无线电。

10.3969/j.issn.1002-0802.2015.04.006

2015-01-17；

2015-03-17