一类面积最值问题解法探究

徐世奎

【摘 要】数学的特点之一就是它具有严密的系统性，数学的知识、思想、方法之间都有密切的内在联系。要理解和掌握数学的知识、思想和方法，不仅要理解和掌握数学的每一个知识、思想和方法，而且还要理解和掌握数学的知识、思想、方法之间的内在联系。那么善于总结归纳数学思想与方法是学好数学的必须。

【关键词】面积;抛物线;二次函数

本文以一道习题的多种解题方法出发，体会总结归纳数学思想方法对数学学习的好处。

问题：已知抛物线y=ax2+bx+c沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线为y=ax2-4ax+4a+1，正方形ABCD的中心在坐标原点，其边分别平行于坐标轴，以O为圆心的圆在第二象限内与正方形ABCD相交于点P、Q，且P、Q在抛物线y=ax2+bx+c上。

（1）求a的取值范围;

（2）设AB交X轴于点E，若PE⊥EC.求E、C两点的坐标;

（3）在（2）的条件下，设直线AC与y=ax2+bx+c相交于M、N，问在直线AC上方的抛物线y=ax2+bx+c上，是否存在一点T，使得△MNT的面积最大？若存在求出最大面积，并指出此时T的坐标，若不存在，请说明理由。

考点：二次函数综合题

分析：（1）分析说理或论证均可。

（2）利用相似求出P、Q，坐标是关键。

（3）如何求面积最大值，利用代数或几何方法均可，这将是本文探究的重点。

解析：

（1）通过观察y=ax2-4ax+4a+1，不难发现y=a（x-2）2+1，将其沿x轴向左平移2个单位后就成了y=ax2+bx+c，故y=ax2+bx+c即为y=ax2+1。

方法一（叙述说理）

∵y=ax2+1的对称轴为y轴，经过P、Q两点

∴抛物线的开口必须向下

∴a<0

方法二（论述说理）

设P（xp，yp） Q（xQ，yQ），将其带入y=ax2+1得

yp=axP2+1，yQ=axQ2+1

∴axP2-axQ2=yp-yQ

∴a（xp+xQ）（xp-xQ）=yp-yQ

∵yp>yQ，，xp>xQ，xp<0，xQ<0

∴xp+xQ<0，xp-xQ：>0，yp-yQ>0

∴a=  <0

（2）易知△APE∽△BEC，故有  =  =  ，设E点坐标为（x0，0），则P（  x0，-x0），根据HL知△PHOE≌△QEO，故Q（x0，-  x0），将P，Q坐标代入y=ax2+1中得：

x    +1=-x0ax    +1=-  x0解之得，x0=-  ，a=-

∴E=（-  ，0），C（  ，-  ）

（3）方法一：几何法，利用与直线AB平行的直线当与抛物线有且只有一个交点时，△MNT以MN为底边的高最大，从而面积最大。

由A（-  ，  ），C（  ，-  ）得直线解析式y=-x，故由y=-x+by=-  x2+1得  x2-x+b-1=0，由△=0得b=

由  x2-x+  =0得x=  ，∴T（  ，  ）

方法二：几何法，将△MNT如图分解成两个共底的三角形。

S△MNT=S△MST+S△SNT=  TS（h1+h2）=  TS×GN

而GN长度一定，要使S△MNT最大，则TS长度最大

设T（x1，-  x    +1），则S（x1，-x1）

故TS=TS=--  x    +x1+1=-  [（x1-  ）2+  ]

∴当x1=  时TS最大，此时T（  ，  ）

方法三：代数法，构建关于△MNT的面积的二次函数是关键。

设T（x0，y0）

S△MNT=S四边形MGNT-S△MGN=（S梯形MGST+S△TSN）-S△MGN

故应先求出M、N的坐标，从而得出以x0为自变量的S的二次函数，求出最值。

可见一题多解，就是对于同一问题，由于观察的角度不同、侧重点不同，运用知识的不同，思考方向和思维力度的不同，从而得到不同的解法。采用不同方法求解，是开拓学生思路，培养学生将已学知识融会贯通的一个重要途径，用多种方法解答同一道数学题，不仅能更牢固地掌握和运用所学知识，而且，通过一题多解，分析比较，寻找解题的最佳途径和方法，能够培养创造性思维能力。

（作者单位：湖北省宜昌市夷陵区分乡初中）