从“植树问题”看模型思想的教学

郭力丹

一、一道期末试题与原因分析

小明从第1棵树匀速走到第6棵树用了3分钟，那么以相同的速度从第一棵树走到第30棵树需用几分钟？（每两棵树之间的距离相等）

思路简析：很显然，这道题属于“植树问题”的拓展应用，解答这道题首先要知道“植树问题”的间隔规律（棵树比间隔数多1），然后根据间隔规律分别推算第1到第6棵树之间有5个间隔，每个间隔时间为3÷5=0.6分钟。然后再根据1到30棵树有29个间隔，将0.6×29 求出共需要的时间。访谈中，我们了解到大多数学生对不同“植树问题”的间隔规律不是很理解，不清楚这道题要归结为哪一种模型的“植树问题”来解决。

原因分析：“植树问题”在人教版四年级下册已经学习过，2014年修订教材调整到五年级上册，按道理应该不难理解。可学生的得分率如此之低很是出乎笔者的意料。经过访谈，笔者了解到，大多数学生都能说出间隔数和植树棵树之间的关系，但是将植树问题模型与生活实际相关联不熟悉，笔者认为这可能与教师授课时的侧重点有关系。该班级的教师在四年级教学时，采用整体教学的办法，把“植树问题”的三种类型，即所谓的“两端都种”“只种一端”与“两端都不种” 在一节课中同时呈现。并将“三种情况”的区分以及相应的计算方法（“加一”“不加不减”与“减一”）看成一种“规律”，要求学生熟练记住，牢固掌握。由于时间紧张，该教师在比较三种类型后没有时间进行把生活中的问题转化成“植树问题”的环节，课后也没有花时间进行专项训练，致使学生对模型的理解仅仅停留在典型的“植树问题”上。有些学生虽然会解决这一问题，但这些学生尚不能把“植树问题”的解决方法与生活中相似的现象进行知识链接，这就导致了能找到规律但不会熟练运用规律解决问题。

二、对“植树问题”教学中问题的反思

1. 教学时应注重“植树问题”的模型应用。

“植树问题”的教学涉及两种层面的数学活动：其一，“植树问题”可区分出三种不同的数学模型，即“两端都种”“只种一端”与“两端都不种”；其二，以“植树问题”为原型引出普遍性的“间隔现象”的思考模式，然后再利用这一模式去解决各种新的实际问题，如“路灯问题”“排队问题”“锯树问题”“爬楼问题”等。在实际教学中，教师们往往过于重视第一个层面的教学活动，即注重三种不同模型的区分，而对第二个层面的教学活动缺乏应有的重视。这样就可能导致学生未能清楚地认识到上述现实问题都与“植树问题”有着相同的数学结构，可以被归结为同一个数学模式，这样的“植树问题”教学无疑是有问题的。本题较低的得分率提醒我们：“模式应用”要比“三种情况的区分”有着更大的重要性。

俞正强老师执教的“植树问题”一课。他在引导学生理解了“植树问题中的树是种在平均分的点上”后，随即提出一个问题让学生思考“除了植树人把树种在点上，还有什么人把什么也放在平均分的点上？”这个问题很巧妙地将“植树问题”引入生活，让学生回到生活中找“植树问题”。学生列举这些例子：服务员杯子的放法，工人每隔几米打地基，路灯的建设，每隔40米建一幢房子等都是放在平均分的点上。显然，学生所说都是比较平常的事例。此时，俞老师有意举出不同的例子：“高速公路，每隔50米设1个服务区”“美国选总统每5年选一次”“每隔一学期一张奖状”等引导学生理解这些例子与植树类似。在俞老师的拓展启发下，学生想出的生活例子更多了。最后俞老师小结：“生活中的‘植树问题，研究的是平均分中的点。”在这个环节中，俞老师花的时间比较多。其实就是从抽象的数学模型出发，联系生活实例，拓宽学生思路，不断加深对“植树问题”这类数学模型的理解，取得了很好的教学效果。

2. 改进“植树问题”的模型建构策略。

策略一：从除法的意义入手建构模型。

笔者认为，学生在学习“植树问题”之前已经学会用除法算式解决实际问题，那么，在解决“植树问题”的过程中可以基于学生的学习基础，从除法的意义入手，将“植树问题”作为用除法解决问题中的一类特殊情况加以处理，可以采用“一一对应”的思想，在理解“间隔数和棵树”这两者关系的基础上，引导学生逐步建构“商+1，商，商-1”的植树问题模型，并在解决问题的过程中学会具体问题具体分析，判断数学模型，应用数学模型解决问题。

俞正强老师分四个层次解决“植树问题”的建构问题。

（1）从除法意义入手。第一个问题：“20米，每5米分一段，共分几段？”这个问题是二年级平均分的问题。学生一下就列出了算式：20÷5=4（段）。“为什么用除法来做？”“你什么时候会做这种题目的？”通过一连串问题，回归除法的意义，帮助学生复习——用除法算式解决问题的最根本的意义是平均分。

（2）变式思考。第二个问题：“20米路，每5米栽一棵树，共栽几棵树？”学生的普遍想法是：20÷5=4（棵），都认为也是在把20平均分，所以是4棵。而只有一位学生的想法是不同的，他认为是“20÷5+1=5（棵）”，因为在0米时要种一棵。俞老师通过一连串追问，学生不断地进行思考与表述，最后通过画图得出是5棵。利用数形结合思想，帮助学生理解“树是种在哪儿的？”

（3）两题比较。俞老师追问：“这两题一样吗？不一样在哪里？”学生通过对问题的思考，区分出平均分是一段一段地分，而种树是种在段与段之间两端的点上。教师板书：点。 接着，教师不断追问：“点与段的差别在哪里？”“点多，还是段多？”“怎么个多法？”“ 1段是2点，2段是3点，3段是4点，4段是5点……”当学生清楚地得出“棵（点）=1+平均分”时，教师小结：“植树是植在点上的。”

（4）问题变式。如果把20米改成50米，改成100米，200米呢？还能解决吗？“不管换成多远，方法都是一样的。”俞老师将例题引申到更为普遍的现象中。

策略二：从基本模型拓展到其他模型。

前文提及，在“植树问题”中涉及“两端都种”“只种一端”与“两端都不种”这三种模型，笔者认为，这三种模型应该以“两端都种” 为基本模型，教学中不应该对三种模型平均用力，可重点教学“两端都种”，在此基础上通过变式发展得到“只种一端”与“两端都不种”的数学模型。这样既把握了三种数学模型的内在联系，又避免了教学时间不足的矛盾。仍以俞老师执教的“植树问题”为例：教师在引导学生建立“20÷5+1”这个数学模型后，巧设了两个变式情境，并做拓展。

（1）一端不种。教师问：“某某小朋友，你扛着5棵树准备去种，如果其中一端被一栋房子挡住了，你怎么办？”在教师的引导下，学生得出方案：带回一棵树，即“20÷5+1-1”，也就是一端不种减1。

（2）两端不种。教师又问：“某某小朋友，你也扛着5棵树去种，两端都被房子挡住了，你怎么办？”此为呈现出另一种特殊情况，即两端不种，带回两棵。学生得出方案：“20÷5+1-2”，即两端不种减2。

这两个模型则是在“20÷5+1”这一经典模型的基础上演变出来的。带回1棵就减1，带回2棵就减2。清楚直观，不易混淆。

（3）模式拓展。教师又追问：“除了种树外，什么情况下可以一端不种，什么情况下可以两端不种？”通过再一次的举例，学生对“植树问题”在生活中的应用有了更为深入的理解。

学生学习“数学模型”的建构与应用，需要经历一个长期的、不断积累经验与不断深化的过程。教师在教学实践中结合数学知识的教学精心培育模型方法，使学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释应用的过程。教师要重视数学模型的应用，引导学生用数学模型来描述身边的自然现象和社会现象。

（作者单位：福建省福州市钱塘小学屏北分校）