分式中的数学思想及方法

贾芸芸

数学思想是数学中的“软件”，若能正确地把握它，并把它落实到学习和应用数学的活动中，就相当于找到了打开智慧之门的钥匙，对开发智力，学会学习并形成正确的价值观具有十分重要的作用. 分式一章中蕴藏了大量的数学思想方法，如数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想、整体思想、类比思想、方程思想、辩证思想等；常用的方法有：分类法、类比法、待定系数法、消元法、配方法、换元法、图像法、观察法、验证法、列表法、构造法、综合法等. 下面就“分式”一章中所体现的数学思想方法作简单回顾.

一、 类比思想

类比是指在不同的对象之间，根据它们某些方面的相似之处进行比较，通过联想和预测推出在其他方面也可以相似，从而去建立猜想和发现规律的方法. 通过类比可以发现新旧知识的异同点，利用已有知识来研究新知识. 分式这一章中，类比思想一直贯穿始终，分式的概念，分式的基本性质，分式的通分、约分、最简分式，分式加减、乘除、乘方运算及混合运算，都是直接通过与分数类比，通过实例，观察异同点，总结归纳出来的. 分式方程的解法及应用也可以类比一元一次方程.

二、 转化思想

转化是一种重要的数学思想，应用非常广泛. 转化思想是将陌生的或不易解决的问题，设法通过某种手段转化为我们熟悉的或已经解决的或易于解决的问题，从而使原问题获得解决的一种思想方法. 这样不但有利于培养创新思维能力，同时也降低了对新知识理解的难度，一举多得.

本章很多地方都体现了转化思想. 如异分母分式加减法转化为同分母分式的加减法；分式除法转化为分式乘法；分式方程转化为整式方程.

1. 分式有无意义或分式值为零时的转化

例1 （1）（2014·广西贺州）分式有意义，则x的取值范围是_______.

（2）（2014·毕节）若分式的值为零，则x的值为_______.

（3）（2013·钦州）当x=_______时，分式无意义.

【分析】这三道题是将有关分式问题转化成方程的问题来解决. 第（1）题，如果分式有意义，则分母不为零，可先列方程x-1=0，解得x=1，所以当x≠1时分式有意义；第（2）题当分式的值为0时，则分子等于0且分母不等于0，解得x=-1. 所以当x=-1时的值为0；第（3）题，当分式无意义时，则分母为0，即x-2=0，解得x=2.

2. 异分母分式加减时的转化

例2 （2014·广西玉林）先化简，再求值：-，其中x=-1.

【分析】异分母分式相加减时，通过通分转化成同分母分式再进行加减.

解：原式=-==，当x=-1时，原式==.

3. 分式的除法的转化

例3 （2014·江苏扬州）化简：-÷.

【分析】分式除以分式时，把除式的分子分母颠倒位置后，与被除式相乘，从而转化为分式的乘法.

解：原式=-·=-=.

4. 分式方程的转化

例4 （2014·山东聊城）解方程：+=-1.

【分析】解分式方程的基本思想是转化，即把分式方程的分母去掉，使分式方程转化成整式方程，就可用解整式方程的方法来求解，所以在学习过程中要树立“转化”的数学思想. 解分式方程一定要注意验根. 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.

解：去分母得：-（x+2）2+16=4-x2 （这一步就是转化思想的具体应用），

去括号得：-x2-4x-4+16=4-x2，

解得：x=2，

经检验x=2是增根，原方程无解.

三、 数学方法和数学建模思想

本章的数学方法有分解因式、通分、约分、去分母等等. 在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，然后通过数学模型去解决实际问题. 分式方程就是一个重要的模型. 经历“实际问题——分式方程模型——求解——解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的建模思想，对培养利用方程模型解决实际问题具有重要意义.

例5 （2014·云南）“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3 000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5 000元购进第二批这种盒装花. 已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元. 求第一批盒装花每盒的进价是多少元？

【分析】设第一批盒装花的进价是x元/盒，则第一批进的数量是，第二批进的数量是，再根据等量关系“第二批进的数量=第一批进的数量×2”可得方程.

解：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则

2×=，解得x=30.

经检验，x=30是原方程的根.

答：第一批盒装花每盒的进价是30元.

【点评】本题考查了分式方程的应用. 注意，分式方程需要验根，这是易错的地方.

四、 整体思想

整体思想就是对问题一一求解比较困难时，把注意力和着眼点放在要解决的问题的整体结构上，认真分析题意，从全局出发，通过研究问题的整体形式、整体结构或作整体处理，使问题得到简洁巧妙解答的一种方法.

例6 （2014·江苏泰州）先化简，再求值：

1-÷-，其中x满足x2-x-1=0.

【分析】化简原式可以得到，要求的值，则要求出x的值，可现阶段又没有学过如何解这个方程，那怎么办呢？联想整体思想，看看条件，易得x2=x+1，即将x+1看作一个整体，代入求值即可.

解：原式=·-

=·-

=x-=.

∵x2-x-1=0，∴x2=x+1，则原式=1.

例7 （2014·山东济宁）已知x+y=xy，求代数式+-（1-x）（1-y）的值.

【分析】考点：分式的化简求值. 首先将所求代数式展开化简，然后整体代入即可求值.

解：∵x+y=xy，

∴+-（1-x）（1-y）=-（1-x-y+xy）=-1+x+y-xy=1-1+0=0.

【点评】在思考数学问题时，不能只着眼于它的局部特征，而整体思想是把联系紧密的几个量作为一个整体来进行运算的数学思想，运用这种思想可以将复杂问题简单化，达到简捷解题、出奇制胜的效果. 一般地，运用整体思想的方法有整体代换、整体设元、整体变形、整体补形、整体配凑和整体构造等.

五、 分类讨论思想

分类讨论思想是在对一个复杂问题出现的情况进行全面分析思考的基础上，将其转化为几个简单的子问题，进而在既不重复也不遗漏的情况下处理和解决问题的思想方法.

例8 若分式的值为负数，试确定x的取值范围.

【分析】分式的值为负数，即分式的分子2-x与分母1+x的符号相反.

解：∵<0，∴分子2-x与分母1+x的符号相反，即2-x>0，

1+x<0或2-x<0，

1+x>0.

解得x<2，

x<-1或x>2，

x>-1. ∴x<-1或x>2，

【分析】对于不确定因素的问题，我们需要分类进行讨论，本题中不能直接确定分子分母的符号，我们就应该分类讨论，分类讨论时要不重复也不遗漏.

数学思想方法是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活运用数学知识、技能的关键. 只有掌握数学思想方法，才能真正领悟到数学的真谛，解题才能得心应手.

跟踪练习

1. （2014·江苏泰州）已知a2+3ab+b2=0（a≠0，b≠0），则代数式+的值等于_____.

2. （2014·四川凉山）先化简，再求值：÷a

+2-，其中a2+3a-1=0.

3. （2014·新疆）解分式方程：+=1.

参考答案

1. -3.

2. 解：原式=÷=·=，当a2+3a-1=0，即a2+3a=1时，原式=.

3. 解：方程两边都乘（x+3）（x-3），得3+x（x+3）=x2-9，3+x2+3x=x2-9，3x=-12，解得x=-4.

检验：把x=-4代入（x+3）（x-3）≠0，

∴x=-4是原分式方程的解.

（作者单位：江苏省淮安外国语学校）