活动与探究：平行四边形中心对称性的应用

徐怡

平行四边形（含矩形、菱形、正方形）是“中心对称图形”，平行四边形（含矩形、菱形、正方形）的中心对称性在学习与生活中有着广泛的应用，下面我们一起来探究平行四边形（含矩形、菱形、正方形）的中心对称性的简单应用.

活动1：如图，▱ABCD.

探究：

（1）画一条直线，把▱ABCD分成两个形状相同、面积相等的三角形.

这样的直线能画出_______条.

【分析】连接AC或BD即可.

（2）画一条直线，把▱ABCD分成形状相同、面积相等的两部分；

①这样的直线能画出_______条.

②这些直线都经过_______的交点，即▱ABCD的_______.

【分析】尝试过对角线AC、BD的交点O画直线.

（3）结论：过平行四边形对称中心的任意一条直线都能把平行四边形分成形状相同、面积相等的两部分.

活动2：（1）如图，在矩形ABCD中，AD>AB，O是对角线的交点，过点O的一条直线分别交BC、AD于点M、N.

求证：梯形ABMN的面积=梯形CDNM的面积.

【分析】证明：连接BD，在矩形ABCD中，

∵O是对角线的交点，

∴点O是矩形ABCD的对称中心，

∴OB=OD，OM=ON，∠BOM=∠DON，

∴△BOM≌△DON，∴BM=DN.

又∵AD=BC，∴AN=CM.

又∵AB=CD，

∴梯形ABMN的面积===梯形CDNM的面积.

即：梯形ABMN的面积=梯形CDNM的面积.

（2）利用上述结论，请你完成下面操作：

如图①，是一块“L”型土地，现要将其平均分配给两家农户栽种农作物，应该怎样分配？画出分配后的图形.

图① 图②

【分析】思考“L”型图形和矩形之间的联系，将图形进行适当的“割”“补”，将“L”型图形转化成两个矩形，分别确定其对称中心O、P，将两个对称中心连接起来即可（如图②）.

活动3：正方形土地ABCD，要在其上面修筑两条笔直的小路（小路宽度不计），使小路把这块土地分成形状相同且面积相等的四部分，请你设计三种不同的修筑方案.

【分析】根据正方形的轴对称性和中心对称性，不难找出下面三种不同方案：

方案①中：对角线AC、BD将正方形ABCD分成形状相同且面积相等的四个三角形：△AOB、△BOC、△COD、△DOA.

方案②中：直线EG、FH经过对称中心O且互相垂直.小正方形AEOH、BEOF、CGOF、DGOH形状相同、面积相等.

方案③中：直线EG、FH经过对称中心O且AE=BF=CG=DH. 四边形AEOH、BEOF、CGOF、DGOH形状相同、面积相等.

在平行四边形（含矩形、菱形、正方形）的学习过程中，要熟练掌握平行四边形（含矩形、菱形、正方形）的性质，充分利用其中心对称性是解决这类问题的关键.

（作者单位：江苏省连云港市赣榆区外国语学校）