平行四边形中的数学思想方法

许峰

数学思想是对数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的一种本质认识，数学方法是实施有关数学思想的一种方式、途径、手段，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力. 抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在. 为了方便同学们快速解决平行四边形的问题，现将平行四边形中常用的数学思想方法略作介绍如下.

一、 转化思想

转化思想要求我们居高临下地抓住问题的实质，在遇到较复杂的问题时，能够辩证地分析问题，通过一定的策略和手段，使复杂的问题简单化，陌生的问题熟悉化，抽象的问题具体化. 具体地说，比如把隐含的数量关系转化为明显的数量关系；把从这一个角度提供的信息转化为从另一个角度提供的信息. 转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、概念与概念、图形与图形之间都可以通过转化，来获得解决问题的转机. 在解决四边形有关问题时，常利用转化思想，通过添加适当的辅助线，把四边形转化为三角形，或把一般四边形转化为特殊四边形等.

例1 如图1，△ABC中，AB=8，AC=6. AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是_________.

【分析】要确定AD的取值范围，联想到三角形三边关系，但又不能把AB、AC和AD放在同一个三角形里，故不能直接利用三角形三边关系，由AD是中线，联想到延长中线，得到平行四边形，得AB=CE，将已知量与未知量集中到三角形中来求解.

解：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE、CE.

∵BD=CD，∴四边形ABEC是平行四边形，∴CE=AB=8，在△ACE中，8-6

【点评】当题中有三角形的中线时，可延长中线，构造平行四边形，这种作辅助线的方法在解题中经常用到，要注意掌握.

例2 如图2，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，求证：EF=CF.

【分析】利用中点F，延长EF交CD于点M，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），得出对应线段之间关系进而得出答案.

【解答】证明：如图3，延长EF，交CD延长线于点M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，∵F为AD中点，∴AF=FD，在△AEF和△DMF中，

∠A=∠FDM，

AF=DF，

∠AFE=∠DFM，

∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=FM，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，

∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴FC=EF.

【点评】由中点延长构造全等三角形是本题的关键. 本题也可以过点F作FN∥AB，将问题转化到三角形FEC中，借助“三线合一”解题，同学们可以自己试一试.

二、 方程思想

方程和方程组是解决应用题、实际问题和许多方面的数学问题的重要基础知识，应用范围非常广泛. 很多数学问题，特别是有未知数的几何问题，就需要用方程或方程组的知识来解决. 在解决问题时，把某个未知量设为未知数，根据有关的性质、定理或公式，建立起未知数和已知数间的等量关系，列出方程或方程组来解决，这就是方程思想. 具有方程思想就能够很好地求得问题中的未知元素或未知量，这对解决和计算有关的数学问题，特别是综合题，是非常需要的.

例3 如图4，▱ABCD的周长是36，由钝角顶点D向AB、BC引两条高DE、DF，且DE=4，DF=6，求这个平行四边形的面积.

【分析】由周长可知AB+BC=18，由面积可知，DE×AB=DF×BC，即4AB=6CD.

【解答】设AB为x，CD为y.

由题意得x+y=18，

4x=6y，解得x

=，

y

=.

则平行四边形的面积为4x=43.

【点评】在几何计算中，通过设立未知数，借助几何的定义、公式或题目的条件，建立方程或方程组来解决问题，是一种重要的解题思想方法，是几何问题代数化的体现.

三、 数形结合

数学家华罗庚说得好：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离. ”几何图形的形象直观，便于理解，代数方法的一般性，解题过程的机械化，可操作性强，便于把握，因此数形结合思想是数学中重要的思想方法. 所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法.

例4 在▱ABCD中，下列结论一定正确的是（ ）.

A. AC⊥BD B. ∠A+∠B=180°

C. AB=AD D. ∠A≠∠C.

【分析】由四边形ABCD是平行四边形，画出图形，可得AD∥BC，即可证得∠A+∠B=180°.

【解答】如图5，∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠A+∠B=180°.

故选B.

【点评】此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用.

例5 如图6，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N.

（1）求证：CM=CN；

（2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶1，求的值.

【分析】（1）由折叠的性质可得：∠ANM=∠CNM，由四边形ABCD是矩形，可得∠ANM=∠CMN，则可证得∠CMN=∠CNM，继而可得CM=CN；

（2）首先过点N作NH⊥BC于点H，由△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶1，易得MC=3ND=3HC，然后设DN=x，由勾股定理，可求得MN的长，继而求得答案.

【解答】（1）证明：由折叠的性质可得：∠ANM=∠CNM，

∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，

∴∠ANM=∠CMN，∴∠CMN=∠CNM，

∴CM=CN；

（2）解：如图7，过点N作NH⊥BC于点H，

则四边形NHCD是矩形，

∴HC=DN，NH=DC，

∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶1，

∴===3，

∴MC=3ND=3HC，

∴MH=2HC，

设DN=x，则HC=x，MH=2x，

∴CM=3x=CN，

在Rt△CDN中，DC==2x，∴HN=2x，

在Rt△MNH中，MN==2x，∴==2.

【点评】此题应用了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理以及三角形的面积. 注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.

四、 分类讨论

分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”. 分类讨论思想本质上是“化整为零，积零为整”. 运用分类讨论思想解题的基本步骤是：（1）确定讨论对象和确定研究的全域；（2）对所讨论的问题进行合理分类（分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级）；（3）逐类讨论：即对各类问题进行详细讨论，逐步解决；（4）归纳总结，整合得出结论.

例6 学校要在花园里栽四棵树，已知其中三棵如图8所示，请你栽上第四棵树，使得这四棵树组成平行四边形.

【分析】由平行四边形定义可知，AB，AC，BC皆可作平行四边形的对角线，故有三种情况，分别过A，B，C三点作BC，AC，AB的平行线.

【解答】如图9.

【点评】明确如何分类是解决本题的关键.

例7 在▱ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=2，则▱ABCD的周长等于_______.

【分析】根据题意分别画出图形，BC边上的高可以在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可.

【解答】

如图10，∵在▱ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=2，

∴EC==2，AB=CD=5，

BE==3，

∴AD=BC=5，

∴▱ABCD的周长等于20.

如图11，

∵在▱ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=2，

∴EC==2，AB=CD=5，

BE==3，∴BC=3-2=1，

∴▱ABCD的周长等于1+1+5+5=12.

则▱ABCD的周长等于12或20.

【点评】借助三角形的知识可知，BC上的高可以在△ABC内部和外部，准确地画出图形，利用分类讨论得出BC的长是解题关键.

（作者单位：江苏省连云港市赣榆区外国语学校）