接触式表面轮廓测量仪的非线性误差分析与补偿*

孙艳玲 梁煜恒 常素萍

( 1.湖北文理学院，襄阳 441053； 2.汽车零部件制造装备数字化湖北省协同创新中心， 襄阳 441053；3.华中科技大学，武汉 470074)



接触式表面轮廓测量仪的非线性误差分析与补偿*

孙艳玲1，2梁煜恒1常素萍3

( 1.湖北文理学院，襄阳 441053； 2.汽车零部件制造装备数字化湖北省协同创新中心， 襄阳 441053；3.华中科技大学，武汉 470074)

分析了大量程接触式轮廓测量过程中非线性误差产生的原因，改进了测杆结构，建立了非线性误差模型，推导出多项式拟合误差的补偿算法，采用标准球通过实验反算出多项式系数并验证了该方法的可靠性。

接触式轮廓测量；非线性误差补偿；多项式拟合

0 引言

接触式测量因其测量结果可靠、稳定和重复性好，得到国际测量界一致认可。测量时杠杆绕支点O转动，测针针尖走过一段圆弧轨迹，针尖在移动过程中的竖直位移量是粗糙度测量所需的表面形貌信息，水平向位移偏差由于非常小可以忽略。但在大量程表面轮廓测量时，竖直向位移达到毫米级，水平偏差可达到微米级，该误差就不能忽略且必须补偿。为此研究出一种容易实现的、高效的误差补偿方式，对于完整的轮廓测量仪十分必要。

1 传统接触式轮廓测量仪的结构及杠杆受力分析

传统接触式轮廓仪工作原理如图1示，测量工件表面轮廓时，二维工作台在伺服电机的驱动下匀速水平进给，触针随着工件表面的起伏上下移动，基于迈克尔逊干涉原理的微位移传感器通过杠杆转动检测触针的高度变化[1-5]获取表面轮廓数据。

图1 传统激光干涉式接触式轮廓仪的工作原理图

对图2所示系统的杠杆受力分析得出力学模型，其中Fk为弹簧弹力；N1为转轴支点O对杠杆的支撑力；f为转轴轴承旋转时受到的摩擦力；G为测杆重力；N为测量力，测量力定义为杠杆与工件接触位置受到的竖直向上的力。

图2 杠杆系统受力图

以O点为转轴，建立杠杆受力平衡方程：

(1)

简化式(1)得到测量力N的表达式：

(2)

f=N1μ

(3)

其中，r为杠杆转轴半径；μ为轴承动摩擦系数。

由式(2)可知，当杠杆长度及重心位置等参数为常数时，测量力N随杠杆转角θ而变化，它们之间的力学关系非常复杂，其中常数θ1，θ2是影响表达式复杂程度的关键因素，对数据的误差补偿不利，必须简化受力从结构上消除这两个常数。

2 传感器杠杆结构改进设计

基于前面分析，如图3示，采用重心可调的弓形测杆结构，使测针针尖与杠杆支点及位移计量点在一条直线上，消去传统杠杆模型中的参数θ2。误差补偿时，平衡位置上下的补偿量完全对称，降低误差补偿的难度。采用重心调整装置(该调整装置能够在杠杆上左右滑动，自身还包括一个能上下调整的平衡螺母)可将杠杆重心调整至转轴处，消去传统杠杆模型中的参数θ1。使杠杆系统的重心与转轴基本重合，消除重力在测量过程中的转矩，保证测量力稳定。

图3 改进后的杠杆结构

3 非线性误差模型建立

弓形杠杆的几何模型如图4示，弓形杠杆在测量过程中绕O点转动，测头针尖以支点O为圆心，L1为半径做圆周运动。采集的数据是杠杆另一端距离支点为L2的计量系统在垂直方向上的位移，测头针尖在X方向上除了要计算工作台的移动距离X′外还要考虑由于杠杆转动所引起的偏移ΔX。同理针尖在Y方向的位移Y与计量系统测量值也不是线性关系。

图4 弓形杠杆的几何模型

假设测量时杠杆从平衡位置顺时针转动，针尖上升高度Y，杠杆转动角度θ。Y与θ满足关系：

Y=L1sinθ

(4)

同时，X向有偏移ΔX，ΔX与θ满足关系：

ΔX=X-X′=L1(1-cosθ)

(5)

其中X为测头针尖在X向实际位移值，计量系统测量值为：

Y′=Δh×K=K×L2tanθ

(6)

K为线性比例常数。由式 (4)，(5)得：

Y=Y′L1cosθ/KL2

(7)

X=X′+L1(1-cosθ)

(8)

由式 (7)，(8)可看出Y与Y′、X与X′没有确定线性关系。

4 非线性误差补偿

4.1 非线性误差分析

为得出两个方向的非线性误差与针尖移动距离Y之间的关系(Y的最大取值反映了杠杆系统的量程)，将误差都表示为Y与其他常量的函数：

ΔY=Y-Y′=Y-KL2tan[arcsin(Y/L1)]

(9)

ΔX=X-X′=L1{1-cos[arcsin(Y/L1)]}

(10)

4.2 测参数反算误差的补偿方法

假设杠杆各段长度能真实获得，取L2=50mm，L1=150mm，K=L1/L2=3，通过公式(6)反算角度θ，代入公式(9)、(10)求出误差值直接补偿即可有效消除非线性误差。但在实际操作中，由于L1、L2在加工及安装过程中不可能完全与设计尺寸相同，直接用工具测量会引入测量误差无法得知其真实值，为精确计算补偿量带来极大误差。Y方向按测量值所获得的误差补偿曲线与实际应采用的误差补偿曲线比较如图5示。可知直接用非真实值进行误差补偿无法满足高精度轮廓仪测量要求，常数参量L1、L2与真实值的细微差别都会给补偿结果带来影响。因此拟采用对标准球拟合反算误差补偿参数的方法弥补理想补偿手段在实际操作中的缺陷，利用文献[6-8]推荐的补偿方式可得：

Y=A1Y′+A2Y′2+A3Y′3+A4Y′4+A5

(11)

X=X′+B1Y′1+B2Y′2+B3Y′3

(12)

测量时要获得X、Y的准确值只需求得多项式的系数Ai、Bi，再将测量值X′、Y′代入即可，采用这种方法可有效避免直接测量L1，L2引入的误差。

图5 测量值与真实值计算出的误差补偿曲线比较

4.3 多项式系数计算

通过标定弓形杠杆参数来计算多项式系数，采用半径实际检定值为R的高精度标准球同时标定轮廓仪的X与Y向。具体步骤为寻找这样一组系数：A1,A2…B1,B2…，要求该组系数可使一组采样值通过式(11)、(12)修正后得到的最小二乘圆与标准圆比较时，尺寸误差与形状误差综合评定值最小，即修正后的点能够尽可能分布在标准圆上或其附近。求得最优补偿系数后可利用公式(11)、(12)修正测量值。

4.4 实验法实现非线性误差补偿系数标定及误差补偿

利用性能可靠的垂直微位移工作台产生等间

距50μm的位置点，行程为2mm。传感器测头置于工作台上，跟随工作台等间距上升，记录下未补偿的传感器示数值。按照补偿公式，利用4阶方程对实际位移拟合得出A1，A2，A3，A4，A5分别为88.113，0.0050392，-9.2138e-005，1.1663e-006，-0.16188。

利用半径标称值为80mm的玻璃球冠对X向非线性误差补偿系数B1，B2，B3标定，该球冠半径实测值为79505.3μm，得到补偿系数B1，B2，B3分别为 -0.00019466， 0.00032836，-1.68e-007。

综上所述，X，Y向非线性误差可分别根据式(13)，(14)进行补偿。

Y=88.113×Y′+0.0050392×Y′2-(9.2138e-

005)×Y′3+(1.1663e-006)×Y′4-0.16188

(13)

X=X′-0.00019466×Y′1+0.00032836×

Y′2-(1.68e-007)×Y′3

(14)

5 非线性误差补偿效果验证

采用标定后的传感器在不同位置测量球冠轮廓验证X向与Y向的非线性误差补偿效果，测量选择3个不同位置，每个位置重复测量2次，测量位置如图6示。每次轮廓测量完采用最小二乘法拟合球半径值，测得轮廓补偿后与未补偿拟合半径值如表1示。

图6 测量标准球冠位置示意图

表1 6次测得轮廓补偿与未补偿拟合半径值(标称值为79505.3μm)

补偿前后误差值对比如图7示，6次拟合半径均值为：79504.38μm；均值与实际值差值为：79504.38-79505.3=-0.98μm。可看出，进行非线性误差补偿后拟合半径与标称半径差值明显缩小，符合测量要求。

图7 补偿前后误差值对比图

6 总结

本文分析了轮廓测量中误差补偿的重要性，建立了传感器非线性误差模型。选用了多项式拟合误差的补偿方法，通过使用标准球来反算多项式系数，经过实验验证，补偿效果良好。

[1] Lee C K.Diferential laser interferometer for nanometer displacement measurement.AIAA Journal,1995(9):1675-1680

[2] D.K.Bowen etal Sub-nanometer Transducer characterization by X-ray interferometry, Precision Engineering, 1990, 12(3):165-173

[3] Bobrof N.Recent advances in displacement measuring interferometry. Meas.Sci.Technol.1995(4): 907-26.

[4] Brand U, Hermann K.A laser measurement system for the high-precision calibration of displacement transducers.Meas.Sci.Technol.1996(7): 911-917

[5] 王生怀,杨旭东,谢铁邦.双衍射光栅位移传感器原理及应用.计量技术，2008(6):7-10

[6] Rank Taylor Hobson Ltd.The Form Talysurf Series 2 Operator’s Handbook (Leicester: Rank Taylor Hobson) Publication no K505/9, 1996

[7] Chang-Ock Lee, Kilsu Park, Byong Chon Park and Yoon Woo Lee.An algorithm for stylus instruments to measure aspheric surfaces.Meas.Sci.Technol.2005 (16):1215-1222

[8] Nelder J A and Mead R.Simplex method of function minimization Comput.J.7 308-13, 1965

2013年湖北省教育厅自科类重点科研项目(D20132602)

10.3969/j.issn.1000-0771.2015.05.03