基于代理模型的转子系统不平衡定量辨识

顾煜炯， 陈东超， 徐 婧， 何成兵

（华北电力大学 国家火力发电工程技术研究中心，北京102206）

旋转机械是电厂、化工厂等生产单位的关键设 备，转子系统不平衡是旋转机械较为常见的一种故障，危及设备的安全运行.这种不平衡可能来自转子制造阶段，也可能在机组投运后由于运行或检修原因产生.准确识别和诊断出不平衡量的位置、大小和相角，以便快速、及时地采取有效措施消除故障，对于旋转设备的安全稳定运行具有重要意义.

对于振动信号的时域、频域以及时频域分析已广泛应用于不平衡、碰磨和裂纹等故障的诊断［1］.这类方法一般被称为基于信号的故障诊断方法，但也只能诊断出有无不平衡故障，不能给出不平衡的定量信息.另一种方法是基于模型的诊断方法，把测量的振动信号与结构模型联合起来，对故障程度进行定量估计［2－6］.在基于模型的不平衡诊断和辨识方法中，主要有2种思路：（1）在每次假设一组不平衡参数后，将该组不平衡参数对应的不平衡力作用在转子系统的有限元模型上，通过有限元计算得到测点处的振动响应.通过多次冗繁的有限元模型计算，寻找计算出的振动响应与实测振动响应最接近的不平衡参数，该参数便为所求.实际旋转机械的转子结构大多较为复杂，这种方法计算量相当繁杂、耗时；（2）转子系统采用有限元方法进行建模，故障转化为施加在模型上的等效外力，将实际系统中由于故障产生的等效力和理论故障力的绝对偏差值作为目标函数，采用最小二乘法等求解出使偏差最小时的故障参数，即得到故障的定量辨识结果.由于实际转子系统中只有少数自由度布置振动测点，一般需要根据系统的振型，采用模态扩展的方法求得所有自由度上的等效力，但是模态扩展过程中会出现模态截断现象，使故障参数辨识误差增大；另外，在模态扩展过程中所使用的模态矩阵有可能是个比较严重的病态矩阵，无法准确辨识不平衡参数.

近年来，代理模型开始广泛应用于工业设计等领域［7］，为了克服以往不平衡定量辨识方法的缺点，笔者提出了一种基于代理模型的转子系统不平衡定量辨识方法.支持向量回归（SVR）的泛化能力强，并且对小样本具有很好的学习及预测能力，因此采用粒子群算法（PSO）优化的SVR（PSO－SVR）构造代理模型，建立不平衡参数与各测点振动响应的对应关系，降低反演优化迭代过程中冗繁的有限元计算；构建用于求解不平衡参数的目标函数，并借助建立的代理模型，采用PSO 算法寻找符合目标函数的全局最优解，从而达到不平衡定量辨识的目的.

1 不平衡参数辨识流程

所提出的不平衡辨识策略将拉丁超立方抽样（LHS）算 法［8］、有 限 元 模 型 计 算［9］、SVR［10－11］和

式中：wi为权重参数，取值范围为（0，1），和值为1；qn、ψn 分别为位置n 处不平衡的偏心量和相角；uic（qn，ψn）为在第i个测点处，由代理模型预测出的振动响应；uim为实测的振动响应.

如图1所示，基于代理模型的不平衡参数辨识步骤可归结为：

（1）利用LHS算法，生成不同偏心量和相角的不平衡参数初始样本点，并通过有限元模型计算得到不同位置上施加以上不平衡力后各测点处的振动响应.PSO［12］算法等多种方法集成在一起，每种方法在整个辨识流程中所承担的任务不同.集成思路及各方法的作用主要有：

（1）该不平衡辨识方法的主要目的是降低反演优化迭代过程中冗繁的有限元计算，然而这并不代表不需要任何的有限元计算.这是因为实际转子系统运行过程中的不平衡故障样本很少，需要采用有限元模型模拟实际转子的运行过程，在有限元模型上施加不同不平衡工况下的故障力，并通过一定量的有限元模型计算得到构建代理模型所需的训练样本.

（2）LHS算法的主要任务是用来得到不平衡的大小、相角等参数样本，是有限元计算产生训练样本的前一步工作.LHS算法可避免重复抽样，同人为的选取不平衡参数样本相比，其选取的样本能更好地反映总体变异规律，更有利于获得计算准确、覆盖全面的代理模型.

（3）通过有限元模型获得用于代理模型训练的样本后，选取SVR 进行代理模型的训练.这是因为与响应面法、神经网络等代理模型相比，SVR 泛化能力强，且对小样本具有很好的学习及预测能力，模型所需训练样本的数量小，尽可能地降低了有限元模型在生成训练样本过程中的计算量.

（4）PSO 算法是一种容易实现、精度高、收敛快的寻优算法.PSO 算法在所提出的不平衡定量辨识策略中主要有2个作用：一方面，优化选取SVR 模型中的惩罚因子C、径向基核函数的宽度参数g 和不敏感系数ε，避免凭经验选取造成较大的回归误差；另一方面，不平衡识别问题可以归结为优化问题，即在给定的搜索域内，借助建立的代理模型，通过PSO 算法寻找符合目标函数的不平衡参数，从而达到不平衡定量辨识的目的.假设已经测得转子系统振动响应，目标函数可以表示为：

图1 基于PSO－SVR代理模型的不平衡识别步骤Fig.1 Flowchart of unbalance identification based on PSO－SVR surrogate model

（2）以不平衡的偏心量和相角为输入、振动响应为输出，依次建立不平衡位于不同位置时，各测点振动响应的PSO－SVR 代理模型.

（3）根据各测点振动实测值和构建好的各PSO－SVR代理模型构建式（1）所示目标函数.

（4）采用PSO 算法求解步骤（3）中的多目标优化问题.依次在可能出现不平衡的位置进行不平衡辨识，当代理模型预测值与实测值误差小于设定的阈值时，停止计算，此时的位置为不平衡所在位置，相应的最优解取为不平衡的定量辨识结果.

2 模型建立

2.1 拉丁超立方抽样

Mckay等人在1979年提出了LHS算法［8］，其主要思想是基于逆函数转换法，假设抽样次数为N，输入K 个随机变量X1，X2，…，XK，变量Xk（1≤k≤K）的累积分布函数（CDF）为Yk＝Fk（Xk），此分布函数的取值范围［0，1］被等分成N 个子区间，每个子区间内抽取一个随机数Yk，然后由CDF的逆函数求得Xk，每个子区间都不重复抽取.

2.2 转子系统建模

通常认为转子系统是由一系列的刚性圆盘、带有质量和弹性的轴段及轴承组成.依次建立各部分的运动方程后，可得转子系统的组合运动方程［9］：

式中：M 为质量矩阵，包括轴系单元和圆盘的平动和转动质量矩阵；C 为阻尼矩阵，包括陀螺力矩和轴承的阻尼；K 为刚度矩阵，包括轴段单元刚度和轴承刚度；Q 为激励矩阵，包括圆盘的重量、不平衡激振力、轴承力、由于转子故障引起的外力和其他外部力.

建立有限元模型时，每个节点考虑4个自由度：水平和垂直2个独立方向的平移运动，围绕水平轴和垂直轴2个方向的旋转运动.关于转子系统的详细模型可参考文献［5］，这里不再赘述.

2.3 不平衡故障模型

设转子的速度为ω，作用在单个节点n、偏心量为qn、相角为的不平衡转化为在水平和垂直方向的等效力，其表达式分别为：

2.4 PSO－SVR代理模型

2.4.1 支持向量回归

SVR 模型就是采用支持向量回归技术得到输入和输出间的映射关系，以代替计算量大且复杂的有限元模型等.

支持向量回归的基本思想如下［10－11］：观测样本集为｛（xi，yi），i＝1，2，…，n，xi∈RN，yi∈R｝.设回归函数为

式中：b为偏差量.

根据结构风险最小化原则，SVR 将学习过程转化为优化问题：

利用拉格朗日函数和对偶原理，可以得到式（6）的对偶问题：

式中：α、α＊为拉格朗日乘子；Q 中的元素Qij＝ΦT（xi）Φ（xj）；I为单位矩阵.

求解此二次型规划可求得α 的值，同时求得

式中：K（x，xj）＝ΦT（x）Φ（xj），为一个满足Mercer条件的核函数.该函数可在不知非线性变换的具体形式下实现算法的非线性化，这是支持向量机的一

根据上述推导可得回归函数f（x）的表达式为个显著特点.

选择径向基核函数进行代理模型的建立，其表达式如下：

凭经验选取SVR 模型中的参数C、g 和ε 会引起较大的回归误差，因此采用PSO 算法优化选取这几个参数.

2.4.2 粒子群算法

PSO 算法是一种群智能计算方法［12］.该算法是将优化问题的解当成是搜索空间中无质量无体积的粒子，通过迭代找到最优解.在每一次迭代过程中，粒子通过跟踪个体最优位置和全局最优位置来更新自己.粒子在搜索空间的速度和位置由下式确定：

式中：t为当前进化代数；r1和r2为均匀分布在［0，1］内的随机数；c1和c2为加速常数；β为惯性权重；vid为第i个粒子速度向量的第d 个分量；pid为第i个粒子最优位置向量中的第d 个分量；pgd为群体最优位置向量中第d 个分量；xid为第i 个粒子位置向量的第d 个分量；d＝1，2，…，n，i＝1，2，…，m，m为种群规模.

2.4.3 PSO－SVR代理模型的构建

建立PSO－SVR 代理模型的具体步骤如下：

（1）读取样本数据，将样本数据分割为训练集和测试集.

（2）PSO 算法的初始化.初始化PSO 算法的相关参数，初始化惯性权重、加速常数、最大进化代数Tmax以及适应度阈值Acc.将需要优化的SVR 模型中的相关参数初始化为一群粒子，初始化粒子速度和粒子位置.

（3）根据适应度函数计算每个粒子的适应值，将粒子中最小的适应值所对应的初始位置设为初始群体最好位置.每个粒子的适应度函数定义为

式中：e为平均绝对百分比误差；yi为实际值；f（xi）为SVR 模型输出值；n为所选择的样本数目.

（4）更新粒子的速度和位置，产生新一代种群.

（5）根据设定的适应度函数，评价每个粒子的适应值.粒子的适应值越小，粒子的位置越好.

（6）检查终止条件，如果满足，则将全局最优粒子映射为SVR模型中的参数，并以此为优化结果得到一个建立好的SVR模型；否则，转步骤（4）.寻优条件为进化代数达到最大或者适应度小于设定阈值.

3 仿真分析

3.1 分析对象

待分析的转子系统结构简图见图2.进行有限元模化后，共有13个节点，2个质量圆盘分别位于节点4和节点8，支撑轴承位于节点2和节点12，2个支撑轴承的支撑特性相同，圆盘2处有一定量的初始不平衡.转子系统的特性参数如表1所示.采用有限元模型计算出系统的固有频率和振型，其中水平方向前两阶的振型如图3所示.

图2 某转子系统结构简图Fig.2 Schematic diagram of the rotor system

表1 转子系统相关参数Tab.1 Main parameters of the rotor system

3.2 构建代理模型

设不平衡偏心量的范围为0.06～0.6g·m，相角范围为0°～360°，拟采用40 个样本作为PSOSVR 代理模型的训练样本.采用LHS算法选取出的40个样本如图4所示.

将不平衡力分别加在圆盘1和圆盘2处，采用有限元模型求解以上40组不平衡工况下的振动响应，假设节点1和节点13处的水平和垂直方向的振动响应可以通过测量得到，采用PSO－SVR 构建这4个测点振动响应的代理模型.其中，当不平衡力施加在圆盘2处时，同一时刻下由PSO－SVR 代理模型得到的4个测点振动响应与不平衡工况的对应关系见图5.

3.3 不平衡参数辨识

图3 水平方向前两阶振型Fig.3 The first two vibration modes in horizontal direction of the rotor system

图4 不平衡参数样本Fig.4 Parameter samples of mass unbalance

在圆盘2处分别设置偏心量为0.2g·m和0.4g·m、相角为50°和200°时的4种不平衡工况，进行不平衡参数的辨识，得出不平衡位置在圆盘2处时，不平衡偏心量和相角的辨识结果如表2所示.由表2可知，采用PSO－SVR 代理模型准确地辨识出了转子不平衡的偏心量和相角，辨识结果与理论值吻合得非常好，辨识误差很小.

图5 振动响应与不平衡参数的对应关系Fig.5 Correspondence between vibration response and unbalance parameters

表2 不同偏心量和相角下的不平衡参数辨识结果Tab.2 Identified unbalance parameters for different unbalance eccentricities and phases

汽轮发电机组等复杂旋转机械的转子系统建模过程中，由于其结构复杂，实际运行情况多变，建模过程中不可避免地会产生一定误差.在圆盘2上施加偏心量为0.4g·m、相角为50°产生的不平衡力，在转子系统模型具有5%支撑刚度误差、10%支撑刚度误差、5%圆盘质量误差和10%圆盘质量误差的情况下，进行不平衡参数的定量辨识，结果见表3.由表3可知，随着模型误差的增大，不平衡定量辨识结果的误差也会增加，但辨识值与理论值吻合情况仍然较好，证明所提出的不平衡定量辨识方法具有较好的鲁棒性.这是因为该不平衡辨识策略除有限元建模外的各个环节所引入的辨识误差均较小，各方法的综合集成比较成功，在较小的有限元模型误差及其他各个环节引入误差的综合作用下，最终的辨识误差并不是很大，辨识误差并未因为较小的有限元模型误差而发生特别剧烈的变化.但值得注意的是，无论是基于模型的还是本文的不平衡辨识策略，尽量提高有限元模型的精度仍是不平衡参数辨识结果准确性的重要保障.

表3 模型具有误差时的不平衡参数辨识结果Tab.3 Identified unbalance parameters with model errors

4 结 论

（1）提出了一种基于PSO－SVR 代理模型的转子系统不平衡定量辨识方法.算例中的不平衡偏心量和相角的最大辨识误差在5%左右，验证了该方法的准确性.

（2）当转子系统模型具有10%支撑刚度误差、10%圆盘质量误差的情况下，不平衡偏心量和相角辨识误差的最大增幅未到3%，表明该方法的鲁棒性较好.

应该指出，本文基于较为简化的转子系统对所提出的方法进行了检验，尚缺少工程验证.如何将所提方法应用于复杂旋转机械实际运行中的不平衡定量辨识，是需要继续开展的工作；另外，本文的方法只能进行单点不平衡的辨识，实际过程中也有可能出现两点或者多点不平衡，多点不平衡的定量识别是一个难题，有待进一步深入研究.

［1］ 胡三高，安宏文，马志勇，等.基于小波奇异值分析的汽轮机碰磨特征提取［J］.动力工程学报，2013，33（3）：184－188.HU Sangao，AN Hongwen，MA Zhiyong，et al.Feature extraction of rubbing fault for steam turbines based on wavelet singularity analysis［J］.Journal of Chinese Society of Power Engineering，2013，33（3）：184－188.

［2］ MARKERT R，PLATZ R，SEIDLER M.Model based fault identification in rotor systems by least squares fitting［J］.International Journal of Rotating Machinery，2001，7（5）：311－321.

［3］ BACHSCHMID N，PENNACCHI P，VANIA A.Identification of multiple faults in rotor systems［J］.Journal of Sound and Vibration，2002，254（2）：327－366.

［4］ LI Changyou，XU Mingqiang，GUO Song，et al.Model－based degree estimation of unbalance and misalignment in flexible coupling－rotor system［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering，2009，22（4）：550－556.

［5］ JALAN K A，MOHANTY A R.Model based fault diagnosis of a rotor－bearing system for misalignment and unbalance under steady－state condition［J］.Journal of Sound and Vibration，2009，327（3／4／5）：604－622.

［6］ SUDHAKAR G N D S，SEKHAR A S.Identification of unbalance in a rotor bearing system［J］.Journal of Sound and Vibration，2011，330（10）：2299－2313.

［7］ HUANG Zhangjun，WANG Chengen，CHEN Jian，et al.Optimal design of aeroengine turbine disc based on Kriging surrogate models［J］.Computers ＆Structures，2011，89（1／2）：27－37.

［8］ MCKAY M D，BECKMAN R J，CONOVER W J.A comparison of three methods for selecting values of input variables in the analysis of output from a computer code［J］.Technometrics，1979，21（2）：239－245.

［9］ 王勖成.有限单元法［M］.北京：清华大学出版社，2013.

［10］ VAPNIK V N.Statistical learning theory［M］.New York，USA：John Wiley，1998：2－5.

［11］ 牛培峰，麻洪波，李国强，等.基于支持向量机和果蝇优化算法的循环流化床锅炉NOx排放特性研究［J］.动力工程学报，2013，33（4）：267－271.NIU Peifeng，MA Hongbo，LI Guoqiang，et al.Study on NOxemission from CFB boilers based on support vector machine and fruit fly optimization algorithm［J］.Journal of Chinese Society of Power Engineering，2013，33（4）：267－271.

［12］ 王曦，李兴源，赵睿.基于相对增益和改进粒子群算法的PSS与直流调制协调策略［J］.中国电机工程学报，2014，34（34）：6177－6184.WANG Xi，LI Xingyuan，ZHAO Rui.Coordination strategy of PSS and DCM based on relative gain and improved PSO［J］.Proceedings of the CSEE，2014，34（34）：6177－6184.