2微米激光器环形谐振腔的ABCD矩阵分析

乔 亮

（福建江夏学院数理教研部，福建福州， 350108）

2微米(μm)波长的激光具有良好的大气穿透性，同时又处于人眼安全波段的范围内，在激光相干探测方面有着广阔的应用前景。相干多普勒测风雷达需要单频运转的高脉冲能量激光光源。[1-3]激光的谐振腔作用之一是提供正反馈，使激活介质中产生的辐射能多次通过介质，当受激辐射所提供的增益超过损耗时在腔内得到放大、建立并维持自激振荡。而环形谐振腔能够有效的抑制空间烧孔效应，同时环形腔双向输出的特性，便于种子激光从输出镜端实现注入，降低对种子激光能量的损耗。[4]本文着重分析环形腔，从理论上计算谐振腔的环绕矩阵，得出环形腔的腔型条件以及光束特性等，确定实验中所用的谐振腔腔型参数。

一、环形腔的ABCD矩阵理论

图1 光束经均匀介质和透镜的传播

激光器环形谐振腔的稳定性设计可通过计算ABCD传输矩阵获得，下面将计算谐振腔的环绕矩阵。光线在均匀介质空间自由传播距离L时如图1(a)，可用二阶方阵描述。它的光学变换矩阵为：

光经过薄透镜如图1(b)，它的变换矩阵为：

离轴情况下使用的球面反射镜（或者透镜）属于像散元件。在图2所示的坐标下，在yoz（弧矢面S）和xoz（子午面）平面内具有不同的变换矩阵。可以证明，当入射光束轴线与透镜的轴线z成α角时，在弧矢面及子午面上透镜的焦距不再是名义上的焦距，而分别是fS= fsecα及fT=fcosα，其变换矩阵也分别变为相应的焦距，(2)式中i=S,T，分别表示弧矢面和子午面的传输矩阵。[5]

选取8字形环形腔为例。这种结构优点在于反射镜的反射角度可以较小，使得环形腔内子午面和弧矢面的光束分布较一致；可采用两片曲面镜和两片平面镜对称的结构，这样在曲面镜和平面镜之间分别存在一个光腰，正好适合放置工作物质和调Q器件。环形腔双向输出的特点，便于从其中一个输出方向上，注入种子激光，实现对激光频率的控制。稳定的谐振腔损耗较小，并且谐振光束状态不变。下面将计算谐振腔的环绕矩阵，分析其稳定条件。

如图3，设两个透镜M1、M2之间的臂长为L1，由M1起，依次经过平面镜M4、M3到M2的臂长为L2，晶体右端面距离M2为L3，晶体长度设为t，折射率为n，晶体左端面距离M1则为L1-L3-t。总腔长为L1+L2。与光轴成较大角度的光线在谐振腔内不作讨论，仅分析旁轴光线在腔内的传播行为。[6]图4为四镜环形腔的等效图。使用分离变量分析法，应用上述的传输矩阵，选取在M1-M2臂上与M1距离为z的平面RP为参考面，参考面RP距离晶体左端面距离就为L1-L3-t-z。可得环绕矩阵(3)式：

求得ABCD的表达式，分别为：

考虑到C对应着系统光焦度的负值，它是不随z变化的常数。A+D反映了谐振腔固有性质，它也不随z变化。令参考面的移动仅在M1和晶体之间的自由空间时，z变为光腰到M1的距离，光腰处等相位面为平面以及光腰为光斑极小值的数学表达式分别为

上述两个方程所获得的解z应该是相等的。因此，将ABCD整理成关于z的一次多项式和二次多项式形式，如下：

对应(4)～ (7)式，得到（9）式中三个系数如下：

根据式 (8)，光腰到镜M1的距离z为

该光腰的共焦参数Z0为

将（10）式中的结果代入（11） 式，可以得出

代入(12)式，得到共焦参数为

而光腰与共焦参数的关系式如下：

谐振腔稳定条件是光腰平方为非负条件，即共焦参数

（14）式中，t为晶体的长度，受泵浦长度为20mm，n为晶体的折射率，n=1.48。有三种不同焦距f的透镜供选择，L2和L1可以变动。

二、环形腔腔型参数分析

（一）稳定性分析

实验条件中，有三种焦距的透镜可供使用，表1列举出对应三种曲率半径的反射镜的子午面和弧矢面内的焦距[7]。在这三种曲率半径条件下，L2取值1500 mm和2200 mm时，L1为变量，分析谐振腔内共焦参数和束腰的分布。

表1 不同曲率半径对应的子午面和弧矢面内的焦距

当L2=1500mm，L1在[100600]区间时，计算得到的子午面和弧矢面共焦参数和束腰分布见图5和6。可以看出，当L2=1500mm时，当透镜的曲率半径R=4000mm时，L1取值200mm附近，能够得到腔内较大的束腰半径；R=4500mm，L1取值[200300]之间，能够得到腔内较大的束腰半径，值小于1.01mm；R=5000mm，L1取值[300400]之间，腔内较大的束腰半径值大于1.02mm。

当L2=2200mm，L1在[100600]区间时，计算得到的子午面和弧矢面共焦参数和束腰分布见图7和8。可以看出，当R=4000mm, L1处在[400500]之间时，这时候子午面和弧矢面内的束腰半径能够比较均衡。与L2=1500mm时相比，腔内的束腰半径也明显增大了。

（二）腔型参数的确定

根据以上的分析，下面就腔镜参数进行分析选择：选取L2=1500mm，由图6可知，L1确定的条件下，f越大，腔内束腰越大，由此判断曲率半径为5m的曲面镜有优势。但是，子午面和弧矢面上束腰差距随着曲率半径的增大也更加明显，这会影响到谐振腔型的对称性，运行后输出激光的光束质量也会受到负面影响。如果将L2适当加长，如图8所示，当L2=2200mm，曲面镜曲率半径为4m时，L1取450mm左右时，子午面和弧矢面具有相同的共焦参数，光腰相等（约等于1.166mm）。这将是比较适宜的腔型条件。

三、实验中采用的腔型参数

在实验中，兼顾机械结构等条件，选取L2=2225mm，曲面镜子午面和弧矢面内的焦距分别为1969.62mm和2030.85mm。计算得到曲面镜之间的束腰ω0T=1.20003 mm，ω0S=1.19977 mm，瑞利长度ZRT=2203.66mm，ZRS=2202.71mm，在腰斑距离M1为221.757mm时，计算得到的M1镜处光斑等参数可参见表2，发散角2θT=1.19797mrad，2θS=1.19782 mrad，基本一致。

表2 L1=2225mm腔内器件光束分布

四、小结

根据相干探测对光源的要求，提出了环形腔的谐振腔结构，有助于抑制空间烧孔效应，便于实现种子注入；四镜8字环形谐振腔，可以使得反射镜的角度较小，并且实现两个曲面镜和两个平面镜之间各存在一个束腰的结构，便于插入激光增益介质和调Q等器件。利用ABCD传输矩阵，分析了当L2=1500mm和2200mm时两种腔长结构下的腔型情况。确定了L1=450mm，L2=2225mm，曲面镜曲率半径为4m的腔型参数，并计算得到了腔内光束特性，为实验系统的搭建提供了理论依据。

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