一类非线性不确定系统的输出跟踪控制

田为刚，王银河，李玉姣

(广东工业大学 自动化学院, 广东 广州 510006)

一类非线性不确定系统的输出跟踪控制

田为刚，王银河，李玉姣

(广东工业大学 自动化学院, 广东 广州 510006)

设计了一类不确定非线性系统模糊自适应输出跟踪控制器. 首先将一个时变参数引入到规则前件的高斯型隶属度函数中, 形成一组带有时变参数的模糊规则, 通过时变参数的变化改变高斯型隶属度函数的中心和宽度，进而改变原Mamdani型模糊逻辑系统的输出，形成新的带有时变参数的模糊逻辑系统. 然后以这种改造后的模糊逻辑系统逼近系统的未知非线性项，构造时变参数和逼近精度的自适应律，设计相应的自适应输出跟踪控制器. 这种方法的优越性在于充分利用原有的有限数目的模糊规则，合成具有较少自适应律的模糊自适应输出跟踪控制器. 最后，通过Duffing的仿真算例验证了本文提出方法的可行性和有效性.

模糊逻辑系统； 时变参数； 输出跟踪； 自适应控制

在工程实践中，针对具有不确定的动态控制系统，模糊If-then规则后件为模糊集的Mamdani型模糊逻辑系统是一种常见的逼近工具，并且逼近精度与模糊规则质量和数目紧密相关[1]，由于Mamdani型模糊逻辑系统的输出可以写成一些模糊基函数的线性组合形式，因此产生了基于这些组合系数的模糊自适应控制方法[2-5]，在这种模糊自适应控制方法中，自适应律的数目取决于模糊规则数目，这就造成了一种矛盾：一方面为了提高逼近精度和控制效果需要选用大量的模糊规则; 另一方面过多的自适应律往往会增大运算量和在线调节时间, 以至于导致闭环系统不稳定.

为了减少自适应律和在线运算量，文献[6]采用未知参数向量范数平方的Backstepping方法来降低自适应参数的数目; 文献[7]利用加装在模糊逻辑系统输入和输出端的伸缩器和饱和器, 通过调节伸缩器和饱和器的参数达到减少自适应律的目的.值得注意的是，这些研究方法中，规则前件中的隶属度函数在整个控制过程中是固定不变的，一般认为,模糊隶属函数能够定量反映语言值的含义，隶属函数的确切定量描述有助于提高模糊逻辑系统的逼近精度[8].由于高斯型隶属度函数有最佳的逼近性能，当高斯型的隶属度函数的中心和宽度都固定时，上述模糊自适应方法意味着控制过程中即使系统的不确定性发生改变，相应的模糊隶属度函数也并不为之改变，这可能导致较大的逼近误差，降低控制性能，甚至造成控制失效. 由此可见，如何依据有限条模糊If-then规则，改变以往根据逼近对象的采样或历史数据而构成的自适应模糊逻辑系统[9],以控制目标为准则，着眼于规则前件的隶属函数，在线动态地调整高斯型隶属度函数的中心和宽度而构造相应的自适应律，从而改善被控系统的控制效果是一个值得研究的问题.

鉴于以上问题，针对一类非线性不确定系统，本文着眼于带有高斯型隶属度函数的有限多个模糊规则，首先将一个时变参数引入到规则前件中的高斯型隶属度函数之中, 形成一种带有可调参数的模糊逻辑系统,然后依据控制目标, 利用这种带有可调参数的模糊逻辑系统逼近非线性系统中未知非线性函数，同时构造这个时变参数的更新律和原模糊逻辑系统逼近精度的自适应律，进而设计相应的自适应跟踪控制器. 相比已有的一些模糊自适应控制方法[3-4,10-11]，本文提出的方法不仅减少了自适应参数的数目，而且简化控制器的设计步骤. 最后，通过Duffing系统的仿真实例证明了本文方法的可行性和有效性.

1 系统描述

1.1 模糊系统描述

由模糊产生器、模糊规则库、模糊推理机、解模糊器构成的Mamdani型模糊逻辑系统F，模糊规则库由以下N条模糊If-then规则构成：

(1)

根据文献[12], 采用单点模糊化、乘积推理和中心平均解模糊，模糊逻辑系统F的输出可以表示为

(2)

从而形成N条带有参数的新规则：

(3)

(4)

注1 (1) 从论域覆盖的角度看, 一组模糊规则的前件语言变量取值范围形成了对其输入论域的一组(完全或不完全)覆盖, 其中每一条规则对应于覆盖中的一个“补丁”[14]. 模糊规则(3)可以看作是模糊规则(1)的一种参数化形式, 由于参数θ=θ(t)的时变性，因此与规则(1)相比较，规则(3)中的“补丁”具有动态性, 因而规则(3)具有动态的语言可解释性. (2) 本文将根据控制目标设计时变参数θ=θ(t)的更新律，这意味着模糊规则(3)能够依据控制目标在线变化，而高斯型隶属度函数有全局支撑的性质(即隶属度函数值处处不为0)，这也意味着当专家给出有限的语言信息(模糊If-then规则(1))时，通过时变参数θ的引入, 规则前件中的隶属函数的中心值和宽度实时地变化，派生出新的动态变化的模糊If-then规则，这不仅将原有规则(1)中的语言信息细化了，而且极大地丰富了原有的专家经验.

1.2 被控对象描述

考虑一类非线性系统[1,5]

(5)

(6)

(7)

显然矩阵对(A,B)是完全可控的，即存在一个1×n阶矩阵K使得对于任意给定的正定矩阵Q,下列Lyapunov方程有唯一正定矩阵解P:

(A+BK)TP+P(A+BK)=-Q.

(8)

2 输出跟踪控制器设计

(9a)

(9b)

(9c)

(9d)

u=u(x,e,θ),

(9e)

式(9a～9e)表示的扩展闭环系统的状态变量为Ζ=[eT,θ,,]T,x(*)表示时变参数θ的更新律，ϑ(*)和ζ(*)分别表示参数L和E估计值的自适应律，控制器(9e)是依据以下控制目标而设计的自适应控制器.

控制目标：设计形如式(9e)的控制器u和参数自适应律(9b～9d)使得扩展系统的状态变量Ζ=[eT,θ,,]T有界，同时使系统(5)的输出跟踪误差

为了达到以上控制目标，本文提出如下控制方案：

(10a)

(11)

(12)

(13)

其中参数υ，β，γ1，γ2，γ3是可调正常数.

定理1 针对系统(7)，在假设1～假设4成立的条件下，采用控制器(10a)～(10b)和参数自适应律(11)～(13),能够保证扩展闭环系统(9a～9e)的状态向量Ζ=[eT,θ,,]T有界，同时使系统(7)的状态误差向量

下面分两种情况证明定理1.

在这种情形下，采用开环控制，即u=0. 在假设1和假设4成立的条件下, 首先可以证明状态向量Ζ=[eT,θ,,]T能够在有限的时间内进入集合中.记容易看出当时，s>0. 考虑关于s的正定函数V=0.5s2，利用式(10)～(13)，沿着扩展闭环系统(9a～9e),V关于时间t的导数为

s.

(14)

由文献[15]的结果可知，不等式(14)意味着，状态向量Ζ=[eT,θ,,]T能够在有限的时间内到达滑模面s=0,注意到⊆情形1得证.

(15)

V(t)沿着扩展闭环系统(9a～9e)关于时间t的导数为

(16)

利用式(10b)得

(17)

(18)

所以由(16)～(18)得

).

(19)

利用式(11)～(13)可以得

(20)

不等式(20)表明扩展闭环控制系统(9a)～(9e)的状态向量Ζ=[eT,θ,,]T是有界的，由(9a)、(10a)、(10b)以及假设1和假设2可以看出，在第二种情况下同样是有界的, 因此利用Barbalat引理[15]可得综合情形1和情形2的证明可知定理1的结论成立.

注4 (1) 参数自适应律(11)～(13)具有下一特点：参数自适应律(12)和(13)在[0,+∞]上是单调递增的，因此初始条件(0)>0和(0)>0可以保证(t)>0和(t)>0, 同时，时变参数θ2(t)在时单调递增，在时单调递减，因此时变参数θ(0)≠0可以保证在内θ(t)≠0；(2) 在以上参数的初始条件下，如果误差向量e(t)随着时间增大，由式(11)可以看出增加得更快，从而使得在有限的时间内落入从而保证系统的状态进入Mamdani型模糊逻辑系统(1)的论域以内; (3) 如果误差向量进入以内，此时随着时间单调递减，采用带有时变参数θ(t)的Mamdani型模糊逻辑系统(3)构成的控制器(10a)和(10b)以及自适应律(11)～(13)，不但可以保证输出跟踪误差趋近于0，而且可以保证跟踪误差的1到n阶导数趋近于0;(4) 在实际应用中，为了保证(t)和(t)有界，需要选择较小的可调参数β、γ1、γ2、γ3.

3 仿真算例

考虑Duffing受迫振动系统[9-10]

(21)

g=1.当干扰d=0,

系统(21)在未控时状态呈现混沌.

选取K=[-1,-2],Q=diag[10,10],初始条件x1(0)=x2(0)=2,θ(0)=1,(0)=0.5,(0)=0.4，其他参数为:υ=50,α=20,β=0.001,γ1=0.002,γ2=0.002,γ3=0.001,ω(x,t)=12，gmax=gmin=1.取参考信号r(t)=0.5(sin(0.5t)+0.5sin(2t))，干扰为白噪声时，选取ψ=1，dmax=5.仿真结果如图1～图3.

图1 参考信号为r(t)=0.5(sin(0.5t)+0.5sin(2t))时的输出跟踪轨迹Fig.1 Output tracking trajectories for the reference signal r(t)=0.5(sin(0.5t)+0.5sin(2t))

图2 参考信号为r(t)=0.5(sin(0.5t)+0.5sin(2t))时状态x2(t)的跟踪轨迹Fig.2 The tracking trajectories of x2(t) for the reference signal r(t)=0.5(sin(0.5t)+0.5sin(2t))

图3 时变参数θ以及参数L和E的估计量的时间响应曲线Fig.3 The time response of time-varying parameter θ and the estimated values of L and E

注5 (1) 由图1～图3可以看出不但系统的输出可以渐近地跟踪输入信号，而且系统的其他状态不但保证了有界同时也实现良好的跟踪，同时所有自适应参数有界；(2)自适应律仅有3个，保证了控制算法运算量小.

图4 参考信号为r(t)=sin(t)时本文与文献[9]中系统输出跟踪误差的时间响应曲线Fig.4 The time response of the output tracking errors in this paper and [9] for the reference signal r(t)=sin(t)

图5 参考信号为r(t)=sin(t)时本文与文献[9]中系统的状态x2的跟踪误差的时间响应曲线Fig.5 The time response of the tracking errorsx2in this paper and [9] for the reference signal r(t)=sin(t)

注6 (1) 由对比图4的输出跟踪误差可以发现，本文提出自适应控制方法不仅可以保证输出跟踪误差渐近地趋近于零，而且响应的速度要比文献[9]更快; (2) 由对比图5可以看出，文献[9]中系统的状态x2的跟踪误差在开始阶段是震荡的，因此本文提出的自适应控制算法的状态跟踪效果要优于文献[9].

4 结论

本文主要着眼于当专家给出一组有限数目的模糊规则时，首先将一个时变参数引入到这组模糊规则前件的高斯隶属函数中将原有规则参数化. 通过时变参数的变化，改变了高斯隶属函数的中心和宽度，进而改变了原模糊逻辑系统的输出，从而得到一种新的带有时变参数的Mamdani模糊逻辑系统. 如果利用这种新的模糊逻辑系统逼近系统中未知的非线性函数，并且以此为基础构造控制器和自适应律, 那么所给出的模糊自适应控制方法不仅能够保证被控系统的输出跟踪误差渐近趋近于零，而且与现有的模糊自适应控制方法相比较, 具有较少的自适应律和较强的模糊逻辑系统规则的语言可解释性.

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Fuzzy Adaptive Output Tracking Control for a Class of Uncertain Nonlinear Systems

Tian Wei-gang, Wang Yin-he, Li Yu-jiao

In this paper, a fuzzy adaptive output tracking controller is designed for a class of uncertain nonlinear systems to track a given sign. First, a time-varying parameter is introduced into the Gaussian membership functions of the rule antecedent, so that a new set of fuzzy rules with a time-varying parameter is given. This implies that the update motion of time-varying parameter changes not only the centers and widths of Gaussian membership functions, but also the output of the previous Mamdani fuzzy logic system, and thus a new fuzzy logic system with a time-varying parameter is synthesized. And then the modified fuzzy logic system can be used to approximate the unknown nonlinear term of the system, and the adaptive laws of time-varying parameter and the estimated values of the fuzzy approximate accuracy can be constructed, accordingly the fuzzy adaptive output tracking controller of the system can be synthesized. The advantage of the proposed method in this paper is that by the full use of existing limited number of fuzzy rules, the fuzzy adaptive output tracking controller can be synthesized with more fewer adaptive laws. Finally, the Duffing system′s simulation example demonstrates that the proposed method in this paper is feasible and effective.

fuzzy logic system; time-varying parameter; output tracking; adaptive control

2013- 09- 30

国家自然科学基金资助项目(61273219)；广东省自然科学基金资助项目(S2013010015768；2011010005029)

田为刚(1988-)，男，硕士研究生，主要研究方向为非线性系统的模糊自适应控制.

10.3969/j.issn.1007- 7162.2015.01.019

TP273

A

1007-7162(2015)01- 0091- 07

(School of Automation, Guangdong University of Technology, Guangzhou 510006, China)