关于球面上的直线及其推论

郑恩斌

先看一个结论：

如图1所示，在球面上，若互相平行的两条直线（a和b）被第三条直线c所截，则同位角1与2相等、同旁内角2与3互补.

图 1

为什么如此？

许多人都会怀疑这个结论，但这个结论却是正确的.为什么正确？且听下面分解.

在球面上，用平面截球面，都会得到圆，如果用平面通过球心截球面，得到的是大圆（我称这个平面为大圆平面），不通过球心截球面，得到的是小圆（我称这个平面为小圆平面）.目前人类认为，大圆为球面上的直线.为啥大圆是球面上的直线呢？数学家说这是因为连接球面上两点的线以大圆的劣弧为最短.我认为，这个说法是有问题的.因为最短未必就是直的.直是绝对的，是没有一点弯曲的，这才是几何中的直.而球面是弯曲的，所以事实上大圆也是弯曲的.既然如此，那么为啥还要将大圆看成是直线呢？我认为，这是因为在垂直于大圆平面的方向上大圆是不弯曲的，是绝对平直的！

那么除了大圆之外，球面是否还有其他的直线呢？数学家说没有了.我认为：有，除了大圆之外，球面上还有其他的直线，这就是小圆！因为在垂直于小圆平面的方向上小圆也是绝对平直的，没有一点弯曲的！所以小圆也是球面上的直线！

小圆也是直线的另一个根据是，当球的直径无限大时，无论是大圆还是小圆都会成为直线.

所以：

球面上，过两点有无数条直线.

球面上，三点决定一条直线.

球面上，大圆围成的角是角，小圆围成的角也是角.

球面上，大圆围成的三角形是三角形，小圆或小圆与大圆的混合围成的三角形也是三角形.

球面上，三角形也可以相似.

球面上，过已知直线外一点只有一条直线与已知直线平行.

球面上，不相交的直线不一定平行.

球面上，三角形的内角和或等于或大于或小于180度.

球面上，同一直线的垂线不一定互相平行.

球面上，两条直线平行的直线若被第三条直线所截，则同位角相等，同旁内角互补.

球面上，不平行的直线不一定相交.

球面上，两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，且同位边相等，那么这两条直线平行.

……

对黎曼几何的理解：球面上，大圆（黎曼的直线）之外没有大圆（黎曼的直线）与之平行.这当然是对的，是真理.在球面上一个确定的大圆之外怎么可能还有大圆与之平行呢？显然是没有.所以黎曼是对的.但没有与大圆平行的大圆不等于没有与大圆平行的小圆，也不等于没有小圆与小圆的平行.我说的就是小圆与小圆及大圆与小圆的平行.

关于角的定义

其中大圆所围成的角是角，小圆所围成的角也是角.但是，由于小圆可以与大圆平行，所以小圆所围成的角本质上也可以视为大圆所围成的角.例如，如图2所示，c和a为大圆，b为小圆.c与b围成角1.由于a为平行于小圆b的大圆，a与c所围成的角2与角1是同位角，是相等的.所以，我们可以视小圆所围成的角1与大圆所围成的角2是等价的.