一道高三数学调研试题的解法探究

赵虎 蔺兴旺

题目：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB，（1）求角B（略）;（2）若b=2，求△ABC面积的最大值.

一、解法的缘由

因第（1）问题求出B=π4，S△=12acsinB=24ac，由余弦定理得4=a2+c2-2ac·cosπ4，故a2+c2-2ac=4（*），求△ABC面积最大值转化为求ac的最大值.从而引发多种思考.

二、多种不同的解法

解法1：（运用辅助角公式法）由bsinB=2R=2sinπ4得R=2，

故ac=2RsinA·2RsinC=8·sinA·sin3π4-A

=8sinA（22cosA+22sinA）

=22sinA-22cosA=22

=4sin（2A-π4）+22.

由0

-22<4 sin（2A-π4）≤4，

∴0

∴（S△）max=2+1，此时A=3π8.

解法2：（运用基本不等式法）由（*）得a2+c2-2ac=4，故a2+c2=4+2ac.由基本不等式

a2+c2≥2ac得4+2ac≥2ac，故ac≤4+22，此时a=c，即A=3π8时，（S△）max=2+1.

解法3：（运用判别式法）由（*）得a2+c2-2ac=4，令ac=t，得c=ta，代入（*）式a2+c2-2ac=4，整理得t2-22 c2t+c4-2c2=0.

由判别式Δ=（2t+4）2-4·1·t2≥0，得t2-42t-8≤0，解得-4+22≤t≤4+22.又t>0，

∴0

解法4：（运用参数法）由（*）得a2+c2-2ac=4得（a-22c）2+（22c）2=4.

令a-22c=2cosA，22c=2sinA，则a=2sinA+2cosA，c=22sinA，从而

ac= （2sinA+2cosA）·22sinA=42sin2A+42sinA cosA=42·1-cos2A2+42·12 sin2A=22sin2A-22cos2A+22=4 sin（2A-π4）+22.

∴（ac）max=4+22，进而（S△）max=2+1.

三、多种解法后对教学的反思

一道数学题，因思考的角度不同可得到多种不同的思路.在教学中，用多种方法解答同一道数学题，不仅能牢固地掌握和运用所学知识，又能帮助不同程度的学生运用自己的方法去解题.通过一题多解，分析比较，寻找到解题的最佳途径和方法，这对提高学生数学学习兴趣和积极培养学生的创造性思维能力大有益处.本题原是已知△ABC中，B=π4，b=2，求△ABC的面积的最大值，即化归为已知三角形的对边、对角，求与此三角形有关的最值与值域（如周长、面积、a2+b2+c2的范围等），通过一题多解，可让不同层次的学生都有不同的发展，这也是当前新课标教育的要求.