数学问题的分解与生成

袁云

中学阶段的数学题是指：为了实现教学目标而要求师生们解答的题目，重点在“要求回答或解释的事情”上.数学题由条件（已知、前提）、结论（未知、求解、求证、求作）构成.内容包括一个待进行的运算、一个待推理的证明、一个待完成的作图、一个待建立的概念、一个待论证的定理、一个待解决的实际问题等.呈现方式有课堂上的提问、范例、练习和所解决的概念、定理、公式，有学生的作业、测验、考试以及师生共同进行的探究性、研究性课题等.有的问题的解绝不是一蹴而就的，需要分解成若干相关的子问题去解决.在解决一些问题之后要回顾反思，发现问题的本质，生成新的问题从而更深入地研究问题.

一、变课本例题习题为问题，挖掘知识内涵与编者的用意

课本上的例题习题一般是用来对概念、公式、定理等的应用.每个例题的设置都有其目的和作用，体现着本节知识应达到的能力要求.因为课本是高考命题的基本依据.有的试题直接取自教材，或为原题，或为类题;有的试题是课本概念、例题、习题的改编;有的试题是教材中的几个题目、几种方法的串联、并联、综合与开拓;少量难题也是按照课本内容设计的，在综合性、灵活性上提出较高要求.我们要认真钻研课本的重要性，突出课本基础知识的作用.通过把题目提炼为若干个小的问题，一点点揭示题中知识方法等本质的东西，以及编者的用意.

[案例]江苏教育出版社出版的必修四第103 页例3：如图，三个相同的正方形连接，求证：α+β=45°.

（一）理清题意

问题1：条件有几个是什么？（三个全等的正方形）

问题2：题目结论是什么？

求两个角的和.

问题3：条件和结论之间的联系是什么？

角与边的关系，可以由三角函数值联系在一起.

问题4：如何知道两个角的三角函数值？

将正方形中的边角关系转化为代数语言.

（二）拟订计划

首先借助正方形边角关系得到两个角的正切，再利用和角的正切公式算出tan（α+β）=1，进而求出角度.

（三）实现计划

略.

（四）回顾反思

1.解题过程的反思.通过分析条件是图形语言，结论是角的大小，联系到三角函数知识，借助和角公式解题.问题比较容易得到.但是结果出来了，问题还将继续.

问题5：求出正切为1，如何舍掉α+β=135°呢？

一种方法可以从图形上看出;另一种方法计算角的三角函数值，判断角的范围.

问题6：为什么选择求正切值呢？为什么不是其他两个三角函数值呢？到底哪个更好些呢？

因为本题中两个角都是锐角，和在（0，π）上余弦函数是单调的，因此每个余弦值对应唯一一个角，正切函数虽然不单调，但每个正切值也是对应唯一一个角，但在（0，π）上每个正弦值要对应两个角，如果求出正弦值再求角，要根据隐含条件舍掉一个角，比较一下，本题最好求正切值或余弦值，不求正弦值.

2.解题方法的回顾.首先应用了数形结合的方法，实现两种语言的转化.这是一道大家认为非常简单的例题，要解得答案非常容易.但是通过把解题分解成解决若干个问题，不仅实现了结果，还可以提炼解决一类题目的方法.

问题7：通过解本题你能获得如何求一个角的大小吗？

在三角函数有关的问题中，角问题转化求出该角的某个三角函数值.

3.反思.关注学生易错点.通过问题5强调了在解决三角函数问题时要关注角的范围，这也是易错点.通过问题6让学生学会去选择最合适的方法.

二、设定理性质的推导证明为题，探寻知识足迹和数学家思维轨迹

有人认为，上课的前半部分是讲概念、定理，后半部分做的才是题，其实，如何构建概念、如何论证定理也是题.数学概念的生成、公式定理的推导理解，

是一个知识再现再生成的过程.有别于数学家的思考.但是可以通过引导学生去解决不断呈现的一个又一个数学问题，还原公式定理产生的过程，学习用已知或已经解决的问题来帮助解决新的问题，学习像数学家那样去思考.

[案例]等差数列前n项和公式的推导.

（一）理清题意

问题1：条件是什么？

等差数列定义、通项公式、特点.

问题2：结论是什么？

前n项和.

问题3：联系是什么？

每一项的值与和的关系.

（二）拟订计划

这是一个抽象的问题，所以要设置一个与学生比较贴近的生活情境，让学生感受为什么要研究求和公式，怎么求.

问题4：学农需要准备一架木头梯子，要求梯子的各级的宽度成等差数列，梯子的最高一级宽28厘米，相邻两节之间宽度差4厘米，这架梯子的前3级共需要准备多少木料？

学生采用算出前三项求和即可.

问题5：若梯子共12级，这架梯子中间各级一共需要准备多少木料？

项数增多，算每一项求和比较麻烦，提出新的解决方案.

a1+a2+…+a12=a1+a1+d）+…+（a1+11d）=12a1+（1+2+…+11）d.

问题6：如何计算1+2+…+11=？

可以配对（1+11）+（2+10）+…+（5+7）+6.

问题7：为什么可以配对？

学生甲：初中学过高斯的1+2+…+100就是配对的;

学生乙：a1+a2+…+a12=（a1+a12）+（a2+a11）+…+（a6+a7）=6a1+a12.

问题8：如何评价这三种做法的区别与联系？

第一种直接求出每一项再求和有局限性，第二种方法借助相同和差异部分研究，与第三种方法都用到规律解题.区别：法一，知识的起点通项公式，借助公式求出每一项，再求和.法二，知识的起点各项之间的联系，有相同的部分，其实是递推关系的应用.法三，通项的性质m+n=p+qam+an=ap+aq，距离首尾项距离相等的项的和相等.联系：通项公式是关键，可以用来求项，也可以看出项之间的关系.法二中1+2+…+11也可以配对，因为是等差数列.所以配对的前提是等差数列求和，存在距离相等的项的和相等的前提.

问题9：若梯子共n级，这架梯子一共需要准备多长的木料？

分类讨论，当为偶数项的时候，首位配对刚好配成对，且总对数为项数一半;当为奇数时，配对多中间一项，如果把中间一项看成首尾项中项的话，刚好也是一半，结果同偶数项，从而得到求和公式.

问题10：发现结果与项数是奇数还是偶数无关，那么能不能避开讨论呢？

将数列倒过来再两个式子相加就可以，这样就使得项数变成偶数.

（三）实现计划

略.

（四）回顾反思

1.解题过程的回顾.因为问题条件结论比较抽象，所以加入情境，通过实际生活的需要，激发学生去思考.通过问题设置求几项和，求十几项和，求很多项和，让学生感觉到原有的理解一项一项加起来的方法行不通，激发探求求和公式的必要性.通过问题6、7并没有使得结果出来问题终结，而是继续挖掘配对应该是倒序相加法的本质，这样不仅可以追溯到等差通项的性质，而且为倒序相加只是一个便于配对的方式手段做铺垫.通过问题8在几种方法解决完问题让学生对方法进行重新的审视、比较是对知识应用的一个升华过程，是必不可少的环节.要比较不同方法对解决这个问题的有效性，要比较不同方法的出发点归宿与区别与联系.哪些地方是统一的，在不同的方法中寻找解决问题的切入口与根源.让学生学习判断选择最佳解决问题的途径.问题10追问为什么结果是一样的，为什么与项数的奇偶性无关.其实内在是统一的，就是配对时要关注成对，中项的地位是均值所以和自己成对，也可以通过倒过来使得成偶数便于配对.揭示了倒序相加法的实质，从而求和公式水到渠成.

2.解题方法的回顾.条件与结论是两个信息源，在分析完条件与结论是什么，有什么联系后，从条件发出的信息预示可知并启发解题手段，从结论发出的信息预告需知并诱导解题方向.为了从中获取尽可能多的信息，我们需要分析条件、分析结论、分析它们之间的关系，需要辅以图形或记号，以求得目标与手段的统一.追忆过去在什么地方、什么情况下曾出现过类似的题目，从“存储机构”中提取出与本问题有关的已知的知识，调动潜在的技能，进行信息的对比、借鉴和再生.

3.反思.抓住学生的思维火花，要关注学生在解题过程中衍生出来的问题.比如学生提到类比高斯的求和得出配对的思想，不仅要表扬学生学会类比，而且要进一步挖掘配对的本质，而不是从同学的嘴巴里说出了配对的方法，就停留在直接用上，而要关注学生是否真的明白配对的实质.

三、以数学解题为题，学会怎样解题促进思维自由生长

数学解题根据波利亚的解题表分为四个步骤：弄清题意、拟订计划、实现计划、回顾反思.通过对解题的分析学会在问题的解决中学会提问、学会解决.

例 已知函数f（x）=ax2-c满足-4≤f（1）≤-1，-1≤f（2）≤5，求f（3）的取值范围.

（一）理清题意

问题1：条件是什么？

含参数的函数，以及两个函数值的范围.

问题2：结论是什么？

求函数值的范围.

问题3：条件与结论之间的联系？

均要求把变量值代入同一个解析式，三个值均与a、c有关.

（二）拟订计划

问题4：f（1）、f（2） 的范围有何用？

-4≤a-c≤-1，-1≤4a-c≤5，如果把a、c看成两个变量，那么两个不等式就确定一个线性区域，而且根据经验是一个平行四边形.

问题5：f（3）如何确定？

f（3）=9a-c属于截距型线性规划问题.

问题5：有没有其他解法？再看f（1）、f（2） 的范围有何用以及与f（3）的联系？

看到三者均与a、c有关，可以通过条件把a、c的范围确定下来.

问题6：如何确定a、c的范围？

两个变量两个方程a-c=f（1），4a-c=f（2），解出a、c，代入f（3）.

（三）实现计划

在巡视中发现有同学这样解：把已知条件中的两个不等式进行运算，-4≤a-c≤-1，-1≤4a-c≤5，得到a、c的范围，进而代入求解.

问题7：这样解对吗？说明理由.

学生课后作为课题研究，兴趣很浓，也有自己的见解.

见解一：结果与正确的不相同，所以错误.

见解二：从线性规划的角度看，后者确定的区域是矩形比原来平行四边形区域大，所以扩大了范围.

见解三：两个变量两个方程a-c=f（1），4a-c=f（2），解出a、c，是等价转化，而把已知条件中的两个不等式进行运算，-4≤a-c≤-1，-1≤4a-c≤5 ，得到a、c的范围，是不等价的，放大了范围.

（四）回 顾

1.解题过程的回顾.弄清题意是关键，不仅要知道条件与结论是什么，与哪些知识相关.还要弄清题目的条件和结论有哪些初步的数学联系，是一种什么样的结构.即题型结构，进行模式识别，在记忆中搜索相应的方法.

2.解题方法的回顾.一个关注的是不等式对应的区域，对线性规划知识比较熟悉.一个关注的是等价转化、方程的思想，同时运用了不等式的运算，是在了解它的目标与原始基础上用“差异分析”，看看结论与条件之间的区别.只要把f（3）转化为f（1）、f（2）就可以了.两种解题方法体现了不同的知识起点.

3.反思.正确对待学生的错误.学生的错误有时候是一次对知识方法重新认识的机会.把分析错误的原因作为问题研究，不仅利于找出问题的根源，把握问题的实质，而且调动学生的学习积极性，提高自主学习的能力.

解数学题把“题”作为研究的对象，把“解”作为研究的目标，关注问题的结果.而挖掘数学题的内涵将其转化为数学问题，不仅实现了由条件到结论，而且把整个“解题活动”作为对象，去研究如何审题发现隐含的数学问题，如何制订计划求解，反思方法总结经验.使得各种水平的学生都有机会在自己现有的水平上，由浅入深地作出回答.注重解决问题过程中情感、态度、价值观的培养.使学生能够学会综合地、创造性地运用各种数学知识去解决那种并非单纯练习题式的问题，帮助学生学会“数学地思维”.

【参考文献】

[1]波利亚.怎样解题.阎育苏，译.北京：科学出版社，1982.

[2]罗增儒.数学解题学引论.西安：陕西师范大学出版社，2001.

[3]罗增儒.中学数学解题的理论与实践.广西教育出版社，2008.

[4]喻平.数学教育研究的相关性方法及案例分析.中学数学教学参考，2005（4）.