回归定义 重视源头

仲崇林

水是有源的，树是有根的.数学定义是解决数学问题的根，是解决数学问题的源.在一些问题的求解中，把握好这个根源，会起到意想不到的效果.利用定义解题，在教科书和高考试题中多有体现.本文仅举几例，以飨读者.

一、利用圆锥曲线定义

例1 （人教版选修（2-1）49页7题）如图，

圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，

P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l

和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动

时，点Q的轨迹是什么？为什么？

解 ∵l是线段AP的垂直平分线

∴|QA|=|QP|

∴|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=|OP|=r>|OA|.

由椭圆的定义得，点Q的轨迹是以

O，A为焦点的椭圆.

例2 （人教版选修（2-1）62页5题）

如图，圆O的半径为定长r，A是

圆O外一个定点，P是圆上任意一点，

线段AP的垂直平分线l和直线OP相交

于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的

轨迹是什么？为什么？

解 仿例1可得：点Q的轨迹是以O，A为焦点的双曲线.

例3 （2009重庆卷）已知以原点O为中心的双曲线的一条准线的方程为x=55，离心率e=5.

（1）求该双曲线的方程;

（2）如图，点A的坐标为（-5，0），B是圆

x2+（y-5）2=1上的点，点M在双曲线

的右支上，求MA+MB的最小值，并求

此时M点的坐标.

解 （1）易得该双曲线的方程为x2-y24=1.

（2）点A（-5，0）为该双曲线的左焦点，右焦点为 A′（5，0）.

由双曲线定义得：MA+MB=2+MA′+MB.

所以，当A′，M，B共线时，MA+MB最小.

圆x2+（y-5）2=1的圆心为C（0，5），连接A′C分别交圆和双曲线于B，M点，则MA+MB=2+MA′+MB=1+A′C=1+10.

此时M点的坐标为42-53，45-423.

例4 （2009天津模拟）已知抛物线y2=ax（a>0），直线l过焦点F且与x轴不重合，则抛物线被l垂直平分的弦共有（  ）.

A.不存在B.有且只有一条

C.2条 D.3条

解 设抛物线y2=ax（a>0）的焦点为F，

弦MN被直线l垂直平分.

过M，N分别作抛物线准线的

垂线，垂足分别为M1，N1.

∴MM1=MF

NN1=NF

MF=NFMM1=NN1MN∥M1N1.

因此直线MN和x轴垂直，直线l与x轴重合.这与已知l与x轴不重合矛盾.故选A.

二、利用导数定义

例5 （2010江西卷12）如图，一个正

五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速

地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分

面积为S（t）（S（0）=0）.则导函数y=S′（t）的图

象大致为（  ）.

解 由导数定义可知，函数f（x）在点x=x0处的导数值就是f（x）在点x=x0处的瞬时变化率.当第一个角逐渐露出水面时，S（t）在逐渐增大，且增长速度越来越快，故其瞬时变化率S′（t）也应逐渐增大，当第二部分开始露出水面时，此时的S（t）应突然增大，然后的增长速度越来越慢，但仍为增函数，故其瞬时变化率S′（t）也应突然增大，再逐渐变小，但S′（t）>0（故可排除B）;当五角星全部露出水面后，S（t）不再变化，故其导数值S′（t）最终应等于0.

答案 A

三、利用三角函数定义

例6 （2010安徽卷9）动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知时间t=0时，点A的坐标是12，32，则当0≤t≤12时，动点A的坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是（  ）.

A.[0，1] B.[1，7]

C.[7，12]D.[0，1]和[7，12]

解 由三角函数的定义知，三角函数是用来描绘圆周运动的，所以可设y=sin（ωt+φ）.

由时间t=0时，点A的坐标是12，32，得φ=π3.

由点A在圆周上逆时针12秒旋转一周，得ω=π6.

∴y=sinπ6t+π3.

当0≤t≤12时，函数y=sin（π6t+π3）的单调递增区间为[0，1]和[7，12]，故选D.