以集合论探究约数和倍数关系的新视角

郭思聪 潘小双

【摘要】本文从自然数分解定理出发，从集合论的角度，探究整数与其约数和倍数之间关系，发现整数中约数和倍数之间关系与集合运算的结构相似性，采用类比思想，推导出任意多个自然数与其最大公约数和最小公倍数之间的关系式.

【关键词】约数;倍数;集合;结构相似性;关系式

一、问题提出

初等数论是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支.在初等数论这一研究整数的规律和性质的数学分支内，有一部分叫作整数的整除理论，主要是探究整数中合数的约数、质约数和倍数之间的关系.很多文献对数的整除性质及其应用进行了较深入的探讨.众所周知，两个自然数的乘积与它们的最大公约数和最小公倍数的乘积相等.但是，对于多个合数之间的公共约数、公共倍数之间联系此类数论问题，初看尚没有很好的论证思路，但从集合论的角度，采用类比论证的思路，这个问题就能迎刃而解.

二、两个自然数的公约数和公倍数之间关系

探讨两个自然数之间的公约数和公倍数，最为直接的方法便是辗转相除法，即从最小的质数2开始，判断这两个自然数是否能够同时被同一个质数整除，并同时除以该质数得到两个新自然数，重复上述步骤，直到最终得到的两数互质（即两数除1以外不能被任何数整除），这些所有除数相乘，便能够得到这两个数之间的最大公约数.

由算术基本定理可知，任意一个自然数n，存在n=pα11·pα22·pα33·…·pαnn（分解唯一），其中p1

不妨令：a=pα11·pα22·pα33·…·pαnn，b=p1β1·p2β2·pβ33·…·pβnn，可知a，b两自然数的最大公约数为：

（a，b）=pmin（α1，β1）1·pmin（α2，β2）2·pmin（α3，β3）3·…·pmin（αn，βn）n.（1）

同理可得a，b两自然数的最小公倍数：

[a，b]=pmax（α1，β1）1·pmax（α2，β2）2·pmax（α3，β3）3·…·pmax（αn，βn）n.（2）

由（1）、（2）得到：

（a，b）·[a，b]=p1min（α1，β1）+max（α1，β1）·pmin（α2，β2）+max（α2，β2）2·pmin（α3，β3）+max（α3，β3）3·…·pmin（αn，βn）+max（αn，βn）n=pα1+β11·pα22+β2·pα3+β33·…·pαn+βnn=pα11·p1β1·pα22·pβ22·pα33·pβ33·…·pαnn·pβnn=a·b.

即：（a，b）·[a，b]=a·b.（3）

从（3）式可得到结论，即两个自然数的乘积与它们的最大公约数和最小公倍数的乘积相等.

三、多个自然数的公约数和公倍数之间关系

再进一步拓展，讨论三个自然数的最大公约数、最小公倍数以及这三个自然数本身之间的关系，我们不难发现，鉴于考虑到三个自然数的质因数分解，各质数之间单纯地取最小、最大指数无任何规律可循，况且取极值后的乘积与三个自然数本身的乘积也无必然联系，若采用上述论证方法，则显得十分复杂.这时，若运用集合论和类比的思想，发现整数中约数和倍数之间关系与集合并交差运算的结构具有高度相似性，采用集合运算和类比的思想，三个自然数的最大公约数、最小公倍数以及这三个自然数本身之间的关系问题便迎刃而解.

在集合中，我们常常结合维恩（Venn）图探究两个或多个集合中元素的数量关系.例如，当两个集合A∩B≠时，则该两个集合中的元素数目关系如图1所示.

图1 集合A与B元素之间关系

可表示成：card（A∪B）=card（A）+card（B）-card（A∩B），即：

card（A∩B）+card（A∪B）=card（A）+card（B）.

亦可表示为：A∪B+A∩B=A+B.（4）

采用集合思想，看待两个自然数及其公约数与公倍数关系，公约数即可以类比为以两个自然数的所有约数为元素的集合的交集，最大公约数（a，b）即可类比为card（A∩B），或A∩B.公倍数则可类比为以两个自然数的所有倍数为元素的集合的并集，最小公倍数[a，b]即可类比为card（A∪B），或A∪B，不难发现（3）式与（4）式的结构具有高度相似性.

当存在三个集合A，B，C，且A∩B∩C≠时，如图2所示.可以直观得知三个集合中的元素数目存在的关系可表达为：

图2 集合A、B与C元素之间关系

card（A∪B∪C）=card（A）+card（B）+card（C）-card（A∩B）+card（B∩C）+card（A∩C）+card（A∩B∩C）.

亦可表示为：

A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C.（5）

同理，三个自然数的公约数即可以类比为以三个自然数的所有约数为元素的集合的交集，最大公约数（a，b，c），即可类比为card（A∩B∩C），或A∩B∩C.其公倍数则可类比为以三个自然数的所有倍数为元素的集合的并集，最小公倍数[a，b，c]，即可类比为card（A∪B∪C），或A∪B∪C.采用同样类比方法，三个自然数的最大公约数、最小公倍数以及这三个自然数本身之间的关系便一目了然，即：

[a，b，c]=a·b·c（a，b）·（b，c）·（a，c）（a，b，c）

=a·b·c·（a，b，c）（a，b）·（b，c）·（a，c）.（6）

对于任意n个集合，其元素数目关系，经总结与归纳，可表达为：

card（∪ni=1Ai）=（-1）0·∑ni=1card（Ai）+（-1）1·∑n-1i1=1∑n i2=i1+1card（Ai1∩Ai2）+（-1）2∑n-2i1=1∑n-1 i2=i1+1∑n i3=i2+1card（Ai1∩Ai2∩Ai3）+…+（-1）n-1·card（∩ni=1Ai）.（7）

可以猜想四个、五个、六个甚至更多自然数的最大公约数、最小公倍数，以及这些自然数本身之间的关系，与（6）式表达式的结构类似.推广上述思路，由（7）式，我们又得到任意n个自然数的最大公约数、最小公倍数，以及这些自然数本身之间关系为：

[a1，a2，a3，…，an]=a1·a2·a3·…·an·（a1，a2，a3）·…（a1，a2）·（a1，a3）·…·（a1，an）·（a2，a3）·…·（an-1，an）·….（8）

在（8）式中，奇数个自然数的最大公约数总是位于分子上，偶数个自然数的最大公约数总是位于分母上.

结 语

以集合运算的视角，发现整数中约数、倍数以及整数本身之间关系，与集合并交差运算的结构相似性，采用类比思想，推导出任意多个自然数与其最大公约数和最小公倍数之间的关系表达式.

初等数论貌似简单，但真正掌握并非易事，它的内容严谨简洁，方法奇巧多变，蕴含了丰富的数学思想方法.善于观察，运用形象思维和类比思想，是解决此类数论问题的有效途径之一.

【参考文献】

[1]潘承洞，潘承彪.初等数论（第三版）.北京：北京大学出版社，2013.

[2]邬永光.用同余理论证明数的整除.内蒙古师范大学学报（教育科学版），1998（4）.

[3]吕烈翰.关于整除问题.数学通报，1982（11）.

[4]罗从文.自然数的约数集构成的KleeneStone代数.华中师范大学学报（自然科学版），2005（3）.