从课本习题到高考试题导析

薛菁

[摘要]课本是学生学习的根本，也是高考命题的源泉.高考试题一直注重在课本中选材，对中学数学的教与学发挥了积极的导向作用.分析从课本题到高考题可知，当今教学应回归课本，认真研读教材，夯实基础，以不变应万变.

[关键词]课本高考教学

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2015）020062

下面是某年的一道高考题：已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病.下面是两种化验方法.

方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止.

方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性，则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性，则在另外2只中任取1只化验.

（1）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；

（2）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望.

在期末复习时，学生的解答情况不理想，这让我有些困惑.我再次仔细读了该题，并把它跟以前讲解过的题型作比较，发现这个题目比常见的题型少了一问，即“求依方案甲和方案乙所需化验次数的概率分布表”，是不是这个原因造成了学生解题的障碍呢？于是，我在全班讲评这道题时，加上了这个问题，有一部分学生顺利完成了，还有一些学生的答案仍然是错的.我请学生A站起来说一下他的思路，他说：“先看方案甲，一共检验5次，每次概率都是15，比如求P（X=3）=4×3×15×4×3=15.”他还没有说完，学生B站起来提出了不同的意见：“老师，最多只要检验4次，因为第4次检测到的不管是患病的还是不患病的，都可以作出结论，所以概率为P（X=4）=4×3×2×15×4×3×2+4×3×2×15×4×3×2=25.”显然学生B的回答是正确的，所以依方案甲所需化验次数的概率分布表为：

我又接着问他：“那么对于方案乙呢？”学生B说：“我就是搞不清方案乙该怎么做.”我愣了一下，方案乙看上去是比方案甲稍复杂，但只要仔细分析一下也并不困难啊！我想了想，问道：“你觉得方案乙和方案甲最大的区别是什么？”学生B说：“方案乙在操作的时候比方案甲多了一个步骤，即要先化验混合的3只动物的血液，再根据结果，选择不同的组合进行测试.”那我又问：“这两者之间的关系是什么呢？”学生B马上领悟过来，说“原来是一个分步计数原理啊！”问题迎刃而解.

P（ξ=2）=C34C35+C24C11C35×13=25+15=35，P（ξ=3）=C24C11C35×（2×13×2+2×13×2）=25.

所以依方案乙所需化验次数的概率分布表为：

（1）记“依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数”为事件A.共有三种情况：甲4次且乙2次或3次；甲3次且乙2次或3次；甲2次且乙也为2次.

P（A）=0.4+0.2+0.2×0.6=0.72.

（2）E（ξ）=2×0.6+3×0.4=0.24.

为了让学生对这个问题掌握得更为透彻，我又找到了课本中的一道题：“某养鸡场流行一种传染病，鸡的感染率为1%.现对100只鸡进行抽血化验，以期查出所有病鸡.有两个方案：①逐只化验；②按4只鸡一组分组，并把同组的4只鸡抽到的血混合在一起化验，若发现有问题，再分别对该组4只鸡逐只化验.问：哪种方案化验次数的期望值较小？”

结果又有一些学生出错了，他们认为，由题意可得100只鸡中有1只鸡得了传染病，与前一个问题是一样的，事实上，这两个问题是完全不同的.“鸡的感染率为1%”指的是每只鸡被感染的可能性为1%，这是一个伯努利试验，是二项分布问题.所以正确的解答如下.

方案①，要化验100次；方案②，100只鸡，25组，每组4只，设X为4只鸡中的病鸡数，所以X～B（4，0.01），设Y为4只鸡中化验的次数，故有下表.

∴E（Y）=0.994+5×（1-0.994）≈1.16.

从而100只鸡的期望化验次数为25×1.16=29.

综上所述，方案②的化验次数的期望值较小.

一道是高考题，一道是课本后的练习题，从课本题到高考题，我们在平时的教学中应注重什么呢？第一，课堂教学应把主要精力用于将最基础的知识讲深、讲透；第二，要充分研究课本例题，发挥例题功能.通过例题的示范作用，让学生学会怎样培养数学思维；第三，要认真研究课本习题，挖掘教材深度.教师通过对这些看似平淡，但却很精彩的题目的研究和运用，可以进一步帮助学生加深对知识的理解和运用，提高学生的解题能力.

总之，教师要在教学中抓住教材、以教材为本，使学生通过对教材上例题和习题的掌握，学会举一反三，从而在高考中取得好成绩，达到师生共赢.

（责任编辑钟伟芳）