利用数列递推公式求通项公式浅探

何升吉

[摘要]在高中数学中，数列知识最活跃，联系最广泛，是高考的重点与难点.而通项公式又是数列的灵魂.对利用递推公式求通项公式进行研究，可揭示这一内容的数学规律与本质.

[关键词]数列通项公式递推公式

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2015）020060

历年高考对数列的考查都是以通项公式和前n项和为主，其中前n项和的求法又是由通项公式决定的，所以，通项公式是数列的重点.在求通项公式的题型中，利用递推公式求通项公式是重点.本文将按照不同递推公式的形式，介绍几种求通项公式的方法.

一、形如an+1-an=f（n）的递推公式求通项公式（叠加法）

具体做法如下.

∵an+1-an=f（n），∴a2-a1=f（1），a3-a2=f（2），…，an-an-1=f（n-1）.

上面n-1个式子左右两边分别相加，得an-a1=f（1）+f（2）+…+f（n-1）.

算出右边的式子，再结合给出的a1，则可求出通项公式.

【例1】已知a1=1，an+1-an=2n，求an.

解：∵an+1-an=2n，∴a2-a1=2，a3-a2=22，…，an-an-1=2n-1.

左右两边分别相加得

an-a1=2+22+…+2n-1=2（1-2n-1）1-2=2n-2.

∴an=2n-1.

二、形如an+1an=f（n）的递推公式求通项公式（叠乘法）

具体做法如下.

∵an+1an=f（n），∴a2a1=f（1），a3a2=f（2），…，anan-1=f（n-1）.

上面n-1个式子左右两边分别相乘，得ana1=f（1）×f（2）×…×f（n-1）.

同样算出右边的式子，再结合给出的a1，则可求出通项公式.

【例2】已知a1=1，（n+1）an+1=nan，求an.

解：∵（n+1）an+1=nan，即an+1an=nn+1，∴a2a1=12，a3a2=23，…，anan-1=n-1n.

上述n-1个式子左右两边相乘，得ana1=12×23×…×n-1n=1n.∴an=1n.

三、形如an+1=can+d（c≠1）的递推公式求通项公式（构造等比数列）

具体做法如下.

设an+1+x=c（an+x），则有an+1=can+（c-1）x.与an+1=can+d对比，得（c-1）x=d，∴x=dc-1.将x=dc-1代入an+1+x=c（an+x），得an+1+dc+1=c（an+dc-1）.

令bn=an+dc-1，则有bn+1=cbn，且b1=a1+dc-1.可以看出，数列{bn}是等比数列，求出{bn}的通项公式，即可求出an.

【例3】已知a1=1，an+1=2an+1，求an.

分析：设an+1+x=2（an+x），展开得an+1=2an+x，与an+1=2an+1对比得x=1.

解：∵an+1=2an+1，∴an+1+1=2（an+1）.

令bn=an+1，则bn+1=2bn.

∵b1=a1+1=2，∴bn=2n，即an=2n-1.

四、形如an+1=can+dn的递推公式求通项公式

（1）当c≠d时，采用构造等比数列的方法.

设an+1+xdn+1=c（an+xdn）an+1+xdn+1=can+cxdn-xdn+1an+1=can+（c-d）xdn.

与an+1=can+dn对比，可得（c-d）x=1，从而求出x=1c-d.

即an+1=can+dn可化为an+1+1c-ddn+1=c（an+1c-ddn）.令bn=an+1c-ddn，可得bn+1=cbn，且b1=a1+1c-dd，易知{bn}是等比数列，先求bn，即可求出an.

（2）当c=d时，采用构造等差数列的方法

当c=d时，an+1=can+d即为an+1=can+cn，此种类型的处理方法是式子两边同除以cn+1.（不管题目中c的指数是多少次，均同除以cn+1）

an+1=can+cn变为an+1cn+1=cancn+1+cncn+1=ancn+1c.令bn=ancn，得bn+1=bn+1c，b1=a1c显然{bn}是等差数列，求出bn即可求出an.

以上即为利用递推公式求通项公式的几种常见类型.学生在做题时，只要能够分析清楚它属于哪一种题型，采用相应的方法解答即可.

（责任编辑钟伟芳）