二元函数最值问题解法探讨

王克政

[摘要]二元函数的最值问题历来是高考的热点和难点.以例解的形式研究一类二元函数最值问题的解法，给出若干思路及方法，可为解一般的二元函数最值问题奠定基础，服务于解题数学研究.

[关键词]二元函数最值解题方法数学研究

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2015）020054

最值问题是高中数学最常见的问题之一.最值问题类型繁多，解题方法多样，特别是一元函数中，有很多问题都涉及最值问题，比如，函数的值域、范围、恒成立等问题都是最值问题.二元函数的最值问题也不少见，只是在试题中很少使用“二元函数”这个名称而已，比如，z=2x+y，c=ab，m=a2+b2，d=y-2x+1等都是二元函数.二元函数的最值问题经常涉及函数、不等式、线性规划、向量、解析几何等知识.笔者从教十几年，积累了一些教学经验，现对二元函数的最值问题总结如下.

一、转化为一元函数求解

【例1】已知点（x，y）在椭圆x24+y23=1上，求f（x，y）=x2+43y+1的最大值.

解：由x24+y23=1，得x2=4-43y2.

所以f（x，y）=x2+43y+1=4-43y2+43y+1=-43y2+43y+5=-43（y-12）2+163.

因为-3≤y≤3，所以f（x，y）≤163.

点评：对于求二元函数的最值的问题，可以先将二元函数转化为一元函数，如果是基本初等函数，可直接利用函数的图像和性质解决；如果不是基本初等函数，而是一个比较复杂的函数，可以根据函数的性质，借助导数研究函数的单调性，从而确定函数的最值.

二、利用三角换元求解

【例2】若x2+y2=1，求3x+2y的最值.

解：由于x2+y2=1，令x=cosθ，y=sinθ，则z=3cosθ+2sinθ=13sin（θ+φ）.

所以13≤z≤13.

点评：三角换元实际上是消元的过程，是二元函数转化为一元函数的另一种手段，它是利用x2+y2=1和cos2θ+sin2θ=1在结构上的相似，从而联想起换元的，换

=（5+22）a2.

图5【例4】如图5，在△PAB中，PB=4，PA=2，以AB为边作正方形ABCD，使得P、D两点落在直线AB的两侧.

（1）当∠APB=45°时，求PD的长；

（2）当∠APB为多大时，PD最大，并求最大值.

解：（1）如图5，把△PAD绕点A顺时针旋转90°，得到△EAB，连接PE，

∴∠EAP=90°，EA=PA=2，

∴∠EPA=45°，

∴EP=PA2+EA2=2+2=2.

∵∠APB=45°，∴∠EPB=∠APB+∠EPA=90°，

∴EB=PE2+PB2=22+42=25，

∴PD=EB=25.

图6（2）如图6，当∠APB=135°时，PD最大.把△PAD绕A点顺时针旋转90°，得到△EAB，连接PE，

∴∠EAP=90°，EA=PA=2，

∴∠EPA=45°，∴E、P、B在同一直线上.

∴EP=PA2+EA2=2+2=2，

∴PD=EB=EP+PB=2+4=6.

图7【例5】如图7，在正方形ABCD中，AB=2，P为对角线BD上的任意一点，连接AP、CP，求AP+CP+BP的最大值与最小值.

解：当P在D点时，AP+CP+BP的值最大，值为4+22.

将△APB绕点B逆时针旋转60°，得△A′P′B.

∴△APB≌△A′P′B，BP=BP′.

∵∠PBP′=60°，

∴△BP′B是等边三角形，

∴P′P=BP，AP+CP+BP=A′P′+P′P+PC，

∴当A′、P′、P、C在同一直线上时，A′P′+P′P+PC最小.

∵A′E=1，BE=3，∴EC=2+3，

∴AP′+P′P+PC的最小值为12+（2+3）2=8+43.

（责任编辑钟伟芳）