受力分析中非静止物的静态处理

关亚男

[摘 要]分析物体的受力情况是学习静力学和动力学的重点和难点，在分析物体的受力情况时，需要弄清物体是处于静止状态还是运动状态；静止时，还需要分清物体是否有运动趋势。在此基础才可能正确分析物体的受力，所以，学生通常难以分析把握物体所受的力。为提高学生处理相关问题的能力，文章结合例题进行分析说明。

[关键词]平衡状态 非静止物体 相对静止

[中图分类号] G633.7 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2015）320053

分析好物体（或物体系）的受力情况是正确解答动力学和静力学问题的关键。对于这类问题，准确把握物体所受的摩擦力又是顺利解答相关问题的前提。当一个处于匀速运动状态的物体（或系统）在另一个均匀的静止物体表面上运动时，运动物体所受的摩擦力不变，因此，分析该物体受力时，可把均匀运动的物体视为“相对静止”的物体来处理。同理，一个静止的物体与一个做缓慢运动的物体叠放在一起，或是两个缓慢运动的物体叠放在一起，在分析它们的受力情况时，可把缓慢运动的物体视作“相对静止”的物体来处理，从而提高分析解答问题的速度。在此，笔者结合自己的教学实践，对这类问题作分类分析。

一、一个静止的物体与一个做匀速运动的物体叠放在一起的情形

“静止”与“运动”本是两个截然不同的概念。但在力学中，“静止”与“匀速运动”二者又都是平衡状态，这两种情况下物体所受的合力都为零。当静止的物体与匀速运动的物体叠放在一起时，它们之间的滑动摩擦力是不变的。此时可以把运动的物体视为静止，但有运动趋势的情况来处理，从而简化物理过程，提高解题速度。

图1

图2

【例1】 如图1所示，A、B两物体叠放在水平地面上，已知A、B的质量分别为mA=10kg，mB=20kg。A、B之间，B与地面之间的动摩擦因数均为μ=0.5。一轻绳一端系住物体A，另一端系于墙上，绳与竖直方向的夹角为37°，今欲用外力将物体B匀速向右拉出，求所加水平力F的大小，并画出A、B的受力分析图。（取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）

【方法1】纯隔离分析

由题意可知，A物体处于静止状态，B物体处于匀速运动状态，二者处于相对运动状态。二者接触面间的摩擦力属于滑动摩擦力。

首先对A进行受力分析（如图2所示），

由隔离A得

Tsin37°=fBA=μN1

Tcos37°+N1=mAg

得T=50N

再对B进行受力分析（图略），由于B处于平衡状态，所以B在竖直方向上，受A对B的作用力、B自身的重力、地面对B的支持力而平衡；在水平方向上，B受A对B和地面对B的摩擦力，外力F对B的拉力而平衡，结合上面的分析以及地面对B的支持力N=N1′+mBg，可以分析计算出外力F=μN+fAB=160N。

【方法2】整体加隔离分析

图3

先对A进行受力分析，同上。

再对二者的整体受力分析，如图3所示，

F=Tsin37°+fDB

=Tsin37°+

μN

Tcos37°+N1=（mA+MB）g

得F=160N

显然，两种方法求得的结果是相同的。那么，叠放在一起的一个静止的物体与一个做匀速运动的物体，是不是都可以视为处于“相对静止”状态的一个整体来处理呢？请再看一个实例。

图4

【例2】 质量为M的木楔倾角为θ，在水平面上保持静止，当将一质量为m的木块放在斜面上时正好匀速下滑，现用沿与斜面成α角的力F拉着木块匀速上升，如图4所示.求：

（1）当α多大时，拉力F有最小值，求此最小值；

（2）当拉力最小时，水平面对木楔M的摩擦力是多大？

对本题，依然用两种方法来求解。

【方法1】纯隔离分析

求解（1）时，对m进行受力分析，将F沿斜面分解，有Fcosα=mgsinθ+μ（mgcosθ-Fsinα），由题意可知μ=tanθ，分析解得F=mgsin2θ/cos（α-θ）。显然，当α=θ时，cos（α-θ）=1，是最大值，则F有最小值，即F=mgsin2θ。

求解（2）时，对M进行受力分析，除地球给的重力外，同时受到木块m给的垂直斜面向下的压力和平行斜面向上的滑动摩擦力，还受到水平面给的竖直向上的支持力和水平方向的静摩擦力，由于M的运动趋势尚未能明确判断，故该静摩擦力的方向未知。

继续对m进行分析。木块m给的垂直斜面向下的压力和平行斜面向上的滑动摩擦力大小分别为mgcos3θ、mgsinθcos2θ，二者在水平方向的分力大小相等，均为mgsin2θcos2θ/2，mgsin2θcos2θ/2=mgsin4θ/4，方向相同，均为水平向右，则合力mgsin4θ/2使M在水平面上有向右运动的趋势，即得水平面给M的静摩擦力水平向左，大小为fJ=mgsin4θ/2。

【方法2】整体加隔离分析

图5

求解（1）同上。

求解（2）时，将匀速运动的木块m与静止的木楔M视为“相对静止”。对整体进行受力分析（如图5所示），将F水平分解，可知

fJ=Fcos2θ=mgsin4θ/2

可见，当把叠放在一起的一个静止的物体与一个做匀速运动的物体，视为处于“相对静止”状态的一个整体分析时，可使问题大大简化。

二、一个静止的物体与一个做缓慢运动的物体叠放在一起的情形

在力学中，“缓慢运动”也是一种动平衡状态，和匀速运动状态一样，也满足合力为零，是否也能用“一”中的受力分析法处理呢？我们依然用两种方法来验证。

图6

图7

图8

【例3】 如图6所示，顶端装有定滑轮的斜面体放在粗糙水平地面上，A、B两物体通过细绳连接，并处于静止状态（不计绳的质量和绳与滑轮间的摩擦）。现用水平向右的力F作用于物体B上，将物体B缓慢拉高一定的距离，此过程中斜面体与物体A仍然保持静止。在此过程中（ ）。

A.水平力F一定变小

B.斜面体所受地面的支持力一定变大

C.地面对斜面体的摩擦力一定变大

D.物体A所受斜面体的摩擦力一定变大

【方法1】纯隔离分析

首先对B进行受力分析，如图7所示。GB一定，F=GBtanθ，T=GB/cosθ。θ角越大，tanθ越大，则F越大，故A选项错误；θ角越大，cosθ越小，则T越大。

再对A进行受力分析，如图8所示。则A所受斜面体的摩擦力fJ1=∣GAsinα-T∣，由于fJ1方向未知，无法确定其大小变化情况，故D错误。

最后对A和斜面的整体进行受力分析，得地面对斜面体的静摩擦力大小为拉力T沿水平方向的分力，即fJ2=Tcosα，T增大，α角不变，则fJ2增大，C选项正确。而地面对斜面体的支持力要受两股绳子对定滑轮作用的影响，两股绳拉力无论怎样改变，它们在竖直方向上的分量是不变的，所以斜面体所受地面的支持力一定不变。

故正确选项为C。

图9

【方法2】整体加隔离分析

先对B进行受力分析，同上。

再将A、B、斜面三者视为一个“相对静止”的整体，进行受力分析，如图9所示，F始终水平，与地面对斜面体的静摩擦力等大反向，所以F增大，则地面对斜面体的摩擦力一定变大，故C选项正确。同时，斜面体所受地面的支持力等于三者重力之和，故大小一定不变，故B选项错误。

物体A所受斜面的摩擦力是静摩擦力，只能对A进行受力分析，依然无法确定大小和方向，故D选项错误。

方法2明显比方法1简单得多。可见，一个静止的物体与一个做缓慢运动的物体叠放在一起时，可视为二者处于“相对静止”状态。

三、两个缓慢运动的物体连在一起的情形

图10

【例4】 如图10所示，A、B两物体的质量分别为mA、mB且mA>mB，整个系统处于静止状态。滑轮的质量和一切摩擦均不计，如果绳一端由Q点缓慢地向左移到P点，整个系统重新平衡后，物体A的高度和两滑轮间绳与水平方向的夹角θ的变化情况是（ ）。

图11

A.物体A的高度升高，θ角变大

B.物体A的高度降低，θ角变小

C.物体A的高度升高，θ角不变

D.物体A的高度不变，θ角变小

解析：绳一端由Q点缓慢地向左移到P点的过程中，物体A、B必然也要缓慢移动，

虽然移动方向不同，但整个系统仍然处于平衡状态，A、B物体仍然保持“相对静止”。

共点力将绳一端的固定点Q缓慢向左移到P点时，绳子的拉力大小不变。分析动滑轮的受力情况，作出受力分析图，如图11。由于动滑轮两侧绳子的拉力大小相等，由平衡条件知，两侧

绳子关于竖直方向具有对称性。

设绳子的拉力大小为F，两绳子的夹角为2α，由于动滑轮两侧绳子的拉力关于竖直方向对称，则有2Fcosα=mAg，由于F=mBg，保持不变，则得知α保持不变，由几何知识知，α+θ=90°，则θ保持不变。当绳一端的固定点Q缓慢向左移到P点时，动滑轮将上升，则物体A的高度增大。故C正确，ABD均错，故选C。

四、一个静止的物体与两个做缓慢运动的物体叠放在一起的情形

图12

【例5】 半圆柱体P放在粗糙的水平地面上，其右端有一固定放置的竖直挡板MN。在半圆柱体P和MN之间放有一个光滑均匀的小圆柱体Q，整个装置处于平衡状态，如图12所示是这个装置的截面图。现使MN保持竖直并缓慢地向右平移，在Q滑落到地面之前，发现P始终保持静止。则在此过程中，下列说法中正确的是（ ）。

A.MN对Q的弹力逐渐减小

B.P对Q的弹力逐渐增大

C.地面对P的摩擦力逐渐增大

D.Q所受的合力逐渐增大

解析：挡板MN保持竖直并且缓慢地向右平移的过程中，小圆柱体Q也将缓慢地沿着半圆柱体P的表面缓慢下滑，而P始终保持静止，此三者可看成“相对静止”。

图13

先对圆柱体Q进行受力分析，受力图如图13，Q受到重力、杆MN的支持力和半球P对Q的支持力，其中重力的大小和方向都不变，杆MN的支持力方向不变、大小变，半球P对Q的支持力方向和大小都变。然后根据平衡条件并运用合成法得到各个力的变化规律；最后对PQ整体受力分析，根据共点力平衡条件得到地面对整体的摩擦力。

图14

分析圆柱体Q的受力情况，可知Q受重力、杆MN的支持力和半球P对Q的支持力作用。

重力的大小和方向都不变，杆MN的支持力方向不变、大小变，半球P对Q的支持力方向和大小都变，然后根据平衡条件，得到N1=mgtanθ，N2=mg/cosθ。

由于θ不断增大，故N1不断增大，N2也不断增大，故A错误，B正确；分析PQ整体的受力情况，可知整体受到总重力、MN杆的支持力N1，地面的支持力N3，地面的静摩擦力f，如图14，根据共点力平衡条件，有f=N1=mgtanθ，由于θ不断增大，故f不断增大，故C正确；物体Q一直保持静止，D错误，故选BC正确。

五、两个均做匀速运动的物体连在一起的情形

图15

【例6】 如图15所示，跨过定滑轮的细绳的两端悬挂着重物A和B，当用一水平力F将A压在竖直墙上时，悬挂A的绳恰好竖直。已知物体A重GA=10N，A与墙之间的动摩擦因数μ=0.4，水平压力F=5N。要使物体匀速下滑，物体B的重力GB应为多大？（不计细绳的质量及滑轮的摩擦）

解析：由题意知，匀速下滑的物体一定是A，则B一定匀速上升，将二者视为“相对静止”。

则竖直墙面给A的滑动摩擦力方向竖直向上，从平

衡条件知，摩擦力的大小等于A、B重力的和减去

绳对定滑轮的拉力（大小为2GB），其大小为fD=μF，联立有GA-GB=μF，代入求解可得GB=8N。

图16

【例7】 如图16所示，位于水平桌面上的物块P，由跨过定滑轮的轻绳与物块Q相连，从滑

轮到P和到Q的两段绳都是水平的。已知Q与P之间以及P与桌面之间的动摩擦因数都是μ，两物块的质量都是m，滑轮的质量、滑轮轴上的摩擦都不计。若用一水平向右的力F拉Q使它做匀速运动，则F的大小为（ ）。

A.μmg B.2μmg

C.3μmgD.4μmg

解析：由题意可知，Q向右做匀速运动，则P一定向左做

匀速运动，这样正反向匀速运动的两个物体可以看作“相对静止”，即可将P、Q视为一个整体，受两绳相等的拉力F0和地面的摩擦力f及拉力F作用，做匀速运动，有F=2F0-2μmg。

隔离分析Q，由平衡条件得F=F0+μmg。

由以上两式联立解得F=4μmg。

图17

想一想 如果水平向右的力作用在P上，如图17所示，其他条件相同，结果会发生变化吗？

仍然用整体法，同样有F=2F0+μmg。

再对Q隔离，进行受力分析，由平衡条件得F0=μmg。

同样联立两式，得同样的结果F=4μmg。

综上所述，当物体处于上述几种情况下的“相对静止”时，和原始的“相对静止”一样，完全可以用整体法进行分析。即处于平衡状态的非静止物体系统，在受力分析时，可视为“相对静止”的物体系统来处理，从而大大简化分析求解过程。

[ 参 考 文 献 ]

[1]杜志建.高考复习讲义（修订版）[M].乌鲁木齐：新疆青少年出版社，2009：28.

[2]杜志建.高考复习讲义（修订版）[M].乌鲁木齐：新疆青少年出版社，2009：37.

[3]杜志建.小题狂练（第三版）[M].乌鲁木齐：新疆青少年出版社，2014：12.

[4]杜志建.高中常考问题一本全[M].乌鲁木齐：新疆青少年出版社，2012：33.

[5]杜志建.高考状元纠错笔记（修订版）[M].乌鲁木齐：新疆青少年出版社，2011：12.

[6]钟山.高考备考工具书[M].沈阳：辽宁教育出版社，2010：17.

（责任编辑 易志毅）