对直线交点个数问题的思考

周军高

例（人教版数学教科书七年级上册第130页第12题）如图1，2条直线相交，有1个交点，3条直线相交，最多有多少个交点？4条。直线呢？你能发现什么规律吗？

解析：8由图1可知，3条直线相交，最多有3个交点，4条直线相交，最多有6个交点。

每增加1条直线。增加的交点个数最多等于原有直线的条数。

一、问题在探究

1.拓广探究。

思考1：如果平面内有n条直线，最多有多少个交点？

解析：由前面的例题可知，当平面内有2条直线时，最多有1个交点；当平面内有3条直线时，最多有（1+2）个交点；当平面内有4条直线时，最多有（1+2+3）个交点……

2.类比探究。

思考2：如图2，如果平面内有n个圆，最多有多少个交点？

解析：当平面内有2个圆时，最多有2个交点；当平面内有3个圆时，最多有（2+4）个交点；当平面内有4个圆时，最多有（2+4+6）个交点……

3.逆向探究。

思考3：过平面内n（n≥2）个点中的每两个点都画1条直线，最多能画多少条直线？试用含n的代数式表示。

解析：从特殊情况人手，通过画图（如图3）不难发现规律。

过平面内2个点画直线，最多能画1条直线：过平面内3个点中的每两个点都画1条直线，最多能画（1+2）条直线；过平面内4个点中的每两个点都画1条直线，最多能画（1+2+3）条直线……

每增加1个点，增加的直线条数最多等于原有点的个数。

因此，过平面内n（（n≥2）个点中的每两个点都画1条直线，能画出的直线最多有1+2+

4.解法探究。

思考4：思考3中的问题还有没有其他解决方法？

经过认真思考，我们还可以得到下面两种解决方法。

方法1：过两个点有且只有1条直线，以两个点为端点的线段也有且只有1条，于是我们可以把“过平面内n（n≥2）个点中的每两个点都画1条直线，最多能画多少条直线”转化为“过平面内n（n≥2）个点中的每两个点都连1条线段，最多能连多少条线段”，另外，线段能够度量长度，长度不同的两条线段是不同的，因此，为便于研究问题，可以把这n个点放在同一条直线上，然后计算线段的总条数。

如图4，我们把这n个点放在同一条直线L上，并把这几个点分别记为A₁、A₂、A₃、…、A_n-1、A_n，对于其中任意两个点，我们用连接这两个点的线段来代表过这两个点的直线。

以A₁。为左端点的线段有（n-1）条，以A₂为左端点的线段有（n-2）条，以A₃为左端点的线段有（n-3）条……以A_n-1为左端点的线段有1条。

方法2：分两步思考问题。

第一步，思考：过平面内n（n≥2）个点中的某一个点与其他（n-1）个点中的任意一个点都画1条直线，最多能画多少条直线？

第二步，思考：过平面内n（n≥2）个点中的每两个点都画1条直线，最多能画多少条直线？

过平面内n（n≥2）个点中的某一个点与其他（n-1）个点中的任意一个点都画1条直线，最多能画（n-1）条直线，一共有n个点，过每个点与其他（n-1）个点中的任意一个点都画1条直线，最多共能画n（n-1）条直线，考虑到过每两个点的直线都重复计算了一次，因

评注：方法1用到了转化（化归）思想，这是一种重要的数学思想，方法2则体现了整体思想，前面的例题也可以用方法2解决。同学们可以尝试一下。

二、变式探究

如果把平面内的n（n≥2）个点想象成某个团体中的n个人，把过两个点画直线想象成两个人之间通电话，可以得到下面的变式题，

变式1：某公司有n（n≥2）名员工。每两名员工之间都通一次电话，则这n名员工之间一共通多少次电话？

变式2：某公司有n（n>12）名员工，每两名员工之间都互发一条问候短信，则这n名员工之间一共发多少条短信？

解析：表面上看，变式2与变式1好像是一样的，仔细审题后会发现它们还是有不同之处的，那就是两名员工之间互发的问候短

如果把平面内的n（n≥2）个点想象成某条铁路线上的n个车站，把过两个点画直线想象成针对某列客车的某种座位核定两个车站之间的票价或设计两个车站之间的车票，可以得。到下面的变式题，感兴趣的同学不妨做一做。

变式3：某条铁路线上有n（n≥2）个车站，针对某列客车的某种座位在每两个车站之间核定一种票价，则共有多少种票价？

变式4：某条铁路线上有n（n≥2）个车站，针对某列客车的某种座位在每两个车站之间都设计车票，则共需设计多少种车票？

同学们在解题后会发现，这些问题虽然表面形式不同，但它们的解题思路、步骤乃至结果非常相似，这就是“万变不离其宗”，同学们要认真地体会、领悟。

责任编辑：潘彦坤