高考数学中关于数列问题与其他知识的结合分析

叶含福

摘 要：在高考数学中，数列是必考的重要知识点之一，并常以解答题的形式出现。基于数列本身丰富的知识结构，易与其他知识点达成有效的结合来提问。在具体的应用中，较为常见的有数列与函数、不等式及解析几何的结合，本文就相关方面的具体例题进行系统解析，以发掘并总结个中的规律，为实际的备考提供借鉴。

近几年的高考数学试题中，数列一般与函数、不等式及解析几何等知识点进行有机融合来考查，这种考查方式无疑加大了试题的难度，对考生的解题能力有了更高的要求，乃至上升到理性思维的层面。

1.数列与函数的综合考查

数列部分作为高考数学试题考查的重点内容，其与函数的结合在近年来日益成为命题的热点。数列从本质上来讲，也是函数的一种表现形式，作为一种自变量是正整数的函数呈现。对于数列这种特殊的函数涉及的问题的解答方式，需要同学们采用函数的思想去分析，对函数在该问题中的作用以及巧妙运用函数思维来解答是学生应当重点考虑的内容。数列与函数的知识点相结合来考查的例子很多，较为典型的一种如下例1所示：

例1：已知函数f（x）=log2x-logx2

（02n（n∈N*），那么求数列{an}的通项公式。

解析：f（2 n）=log22 n-—= 2n= an-—=2n，即an-2nan-1=0，解得：

an=n±√n2+1。再根据0

0<2 n<1，那么an<0，an=n-√n2+1。

评析：这道题在结构的设计上较为灵活巧妙，以对数函数切入，结合数列与函数的相关内容，系统考查学生的逻辑分析能力的同时，强调在解答数列问题的基础上对方程与函数的综合运用。

2.数列与不等式的结合运用

数列与不等式相结合在近几年的高考数学中也是较为普遍的考查方式。基于一般数列的知识点，与不等式相融合，来强化学生的推理能力，在题型的设计方面较函数类更加灵活，进一步考查学生在数列问题解答方面的综合应用意识。较为常见的考查方式如下例2所示：

例2：已知等差数列{an}的前n项

和为Sn，a1=1，公差d≠0，且a1，a2，

a7刚好构成一个等比数列。

（1）求数列的前n项和Sn。

（2）设bn=—，数列{bn}的前n项和为Tn，求证2Tn-9bn-1+18> —（n>1）。

解析：（1）解（略）。

Sn=na1+—d=n+2n（n-1）=

2n2-n。

（2）把Sn的值代入到bn中，得bn=—=2n，所以，数列{bn}是首项为2，公差为2的等差数列。

那么，Tn=—=n2+n。

所求的2Tn-9bn-1+18=2n2+2n-18（n-

1）+18=2（n-4）2+4≥4，并且只有当n=4时，等号成立。

把bn代入到不等式的右侧，并化简，

可得—≤—=4，只有当n=—，n=3时，等号成立，所以，要求证的不等式成立。

评析：这道题对于基本数列问题与不等式的结合来设计的考查内容，是立足于等差数列和等比数列的基础知识，加入不等式的相关思想，考查学生对基础内容的理解和具体应用。

3.数列与解析几何的综合应用

数列与解析几何相关知识的糅合是近几年高考数学解答题或压轴题中较为常见的题型之一，从题型设计来看，对学生数学思想的应用的考查更为深刻。本文中给出了一个较为适用的题例如下所示：

例3：已知平面xOy上有点列P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），且对于自然数n，点Pn位于函数y=x2（x≥0）的图像上，以点Pn为圆心的圆与x轴外切，且Pn与Pn+1又相外切。已知x1=1，且xn+1

解析：圆Pn的半径rn=yn=xn。因为两圆相外切，所以两圆心的距离为两半径的和，再根据两点间的距离公式并化简可得：xn-xn+1=2xnxn+1。即—-—=

2（n∈N*）。

所以，数列{—}是首项为1，公差为2的等差数列，那么—=1+2（n-1），得：xn=—。

评析：这道题的设计中涉及较为繁复的知识点，在具体的解答过程中，学生应当充分运用数学思想来对待，首先将其作为一个数列的基本问题，将可变列的几何属性与相对应的数列本身的性质相结合，然后通过适当的变形和转化，把问题转化成为数列或解析几何的问题，最后便可以根据已知条件进行进一步的求解。

综上所述，数列在高考数学试题考查中的应用十分广泛，本文只是选择较为常见的三种数列与函数、不等式和解析几何的综合运用，熟练掌握数列问题的基本知识，学会运用数学思想来思考问题，对深入把握解答技巧的精髓十分重要。

参考文献：

[1]钱继兵.例谈数列与其他知识的常见结合形式[J].数学学习与研究，2013（23）.

[2]吕佐良.聚集数列与其他知识的整合[J].试题与研究（高考），2013（29）.

（作者单位：重庆市綦江南州中学）