边际效用的混沌性分析

周绍妍

【摘要】针对经济系统中，许多经济现象从表面看具有极不规则的特征，这为试图用混沌理论和方法来研究经济系统提供了条件.通过引入逻辑斯蒂经济模型，对凯恩斯三大经典理论之一 ——边际效用论进行描述，最后根据混沌吸引子，周期分岔理论通过模型对其进行了在不同参数的取值情况下所产生的混沌道路及吸引子的分析.结果表明：系统运动的周期变化行为是一种有序状态，但经过周期加倍，会逐渐丧失周期性而进入混沌状态.

【关键词】LiYorke混沌；迭代；逻辑斯蒂模型；边际效用；积累效应

一、混沌的基本理论

1975年，美籍华人李天岩与其导师Yorke在一篇题为《Period Three Implies Chaos》的论文中第一次用严格的数学语言给“混沌”下了定义，深刻揭示了从有序到混沌的演化过程.设f是度量空间X，d到自身的连续映射，x，y∈X.如果满足：

limn→∞ infdfnx，fny=0

limn→∞ supdfnx，fny>0

则称x，y为f的LiYorke对；如果一个不少于两点的子集中任何不同两点均是f的LiYorke对，则称该集合为f的LiYorke混沌集；如果有一个由不可数多点构成的LiYorke混沌集，则称它为LiYorke混沌.

二、简单的混沌经济模型

混沌经济理论认为逻辑斯蒂方程（Logistic equation）能够反映出经济增长过程中许多要素的变换规律，是描述动态系统的最简练最直接的经济模型.它的结构是：xt+1=xtμ（1-xt），其中xt∈（0，1），μ∈（0，4）.其中xt是一個混沌经济系统的内生变量，μ是xt的控制参数，t是变换次数，逻辑斯蒂方程证明了变量xt具有倍周期分叉的规律，确定了菲根鲍姆常数δ=4.6692，发现xt与μ之间的关系可以用分叉图表示.而倍周期分叉是进入混沌的道路之一.

三、边际效用描述

边际效用是指某商品的消费量每增（减）一个单位，所引起的总效用的增（减）量.公式为：MU=ΔTUΔQ.也就是说，边际效用是指所消费物品之一定数量中最后增加的那个单位提供的效用.在不同时期，对于同种产品由于消费者购买数量和消费次数的不同，边际效用值是波动的，具有很大的随机性.

四、建立边际效用的Logistic模型

经济学理论研究表明，消费者在一定时期内消费某种商品的数量，是决定总效用的主要因素.n+1时期购买某种商品的总效用与n时期的购买同种商品的数量有关.n+1时期的总效用与n时期的购买数量的关系如下：

TUn+1=b+βQn 其中b和β都是常数（4.1）

对不同时期的总效用与消费数量变动，用差分方程可表示为：

ΔTUn+1=ΔQn（4.2）

将式（4.2）代入（4.1）得到不同时期总效用变动比率与消费数量变动的关系式：

MUn+1=βΔQnΔQn+1（4.3）

然后应用结构乘数方程的模型来表示n+1时期和n时期的商品消费数量变动，可以得到：

ΔQn+1=RΔQ0MUn+1（1-MUn+1）（4.4）

ΔQn=R′ΔQ′0MUn（1-MUn）（4.5）

其中，ΔQn+1和ΔQn表示n+1期和n期的消费商品数量变动值，ΔQ0和ΔQ′0表示n+1期和n期的最初消费数量，R和R′是系数，与最初的购买次数有关，把式（4.4）、（4.5）分别代入式（4.3），整理得：

MUn+1=1-（dβ）MUn（1-MUn）（4.6）

其中，d=RΔQ0R′ΔQ′0（4.7）

式（4.6）表明，n+1期的边际效用与d，β和MUn的取值有关.我们不妨设dβ为常数项，设MUn=xn，以此来迭代MUn+1与MUn之间的关系.如果设最初消费数量ΔQ0和ΔQ′0为单位数量，考虑R和R′无变化，使ΔQ0=ΔQ′0，R=R′，则由式（4.6）可推出：

即：fxn=1-gxn（4.10）

式（4.10）是边际效用的函数式，不难看出式（4.9）变化轨迹可反映出式（4.10）变化轨迹.

五、分析边际效用的混沌特性

针对已经建立的边际效用的逻辑斯蒂模型，通过式（4.9）对fxn逐步进行分析：

1.分析当β≥1时，边际效用有两个吸引子：x=1和x=β，其中稳定不动点是x=1，排斥不动点是x=β.fxn有周期1解.也就是说，不论初值如何取值，边际效用函数总是趋向于x=1处变化.

2.分析当13<β<1时，边际效用仍然有两个吸引子：x=1和x=β，此时稳定不动点变成x=β，而排斥不动点是x=1.

3.分析当11+6<β<13时，边际效用有4个吸引子.其中x=1和x=β是稳定不动点，另外两个是排斥不动点.fxn有周期2解.即：无论初值如何取值，边际效用总是趋向于另外两个不动点收敛.

4.分析当0.2822…<β<1+6时，边际效用有八个吸引子，fxn有周期4解.

5.分析当β继续变小下去时，fxn依次出现周期8解，周期16解……

6.分析当β→0.2801 时，分析不动点，已经找寻不到规律.此时的不动点通过倍周期分叉道路，进入混沌.

7.分析当β=0.2612…时，fxn存在周期3解，此时，混沌和周期交替出现.

通过以上研究，我们发现系统运动的周期变化行为是一种有序状态，但这种有序状态不是永恒持续下去的，当系统在一定前提下，经过周期加倍，会逐渐丧失周期性而进入混沌状态.如果一个经济系统处于混沌状态，就意味着内部结构出现了问题，处于混沌状态的经济系统是脆弱的，势必引发无法预期的经济波动.

【参考文献】

[1]黄润生.混沌及其应用[M].武汉：武汉大学出版社，2003.

[2]吉蕴，李祖平.逻辑斯蒂模型及其应用[J].潍坊学院学报，2010（7）.