构造函数在导数问题中的应用

张文亭

导数是研究函数性质，培养学生数学能力的一个重要工具.而导数与函数结合的问题一直是高考数学中的热点和难点，常会出现在最后的压轴题中.在解决这类问题时，很多时候需要去通过引进辅助函数来解题，通过巧妙地构造函数，可以把原来的问题转化为研究辅助函数的性质，能使复杂的问题转化为简单的问题，从而顺利地解决相关问题.本文准备结合具体事例去说明构造函数在解决各类导数问题中的应用.

一、构造函数求解与不等式相关的问题

评注 在解决函数类不等式问题时，构造辅助函数比较容易，一般是通过直接移项的方法，将不等式的一边变为0，将另一边的函数作为辅助函数去研究，方法1就是这种构造方式.但这种构造方式还需要讨论参数的范围，对于相对复杂的函数这种构造方式就有一定的局限性.因此针对本例還可采用更优化的方法，根据题目要求的参数范围，先分离变量再构造函数去研究，这样构造出的函数不含参数，可以避免讨论，更直接地解出所求参数的范围.

例2 （2014—2015苏州期末测试）已知函数f（x）=ax2+bx，g（x）=lnx.当b=-1时，若f（x）≥g（x）在1e，n上恒成立（n为正常数），求a的取值范围.

评注 本题主要考查运用导数研究函数与方程的问题，先要将函数图像有交点转化成方程根的问题，再通过构造函数去研究其性质.

四、通过构造函数来研究综合的函数问题

一些高考函数的综合解答题，常常是由一些基本题型演变而成，也常常需要灵活应用一些基本函数和函数模型，掌握好基本的解题思路，由此出发易得解题突破口.

评注 本题是比较综合的函数问题，考查了导数问题的各个方面，问题（3）需要去构造函数，本题虽然只含一个参数，但无法直接分离变量，采用直接构造函数去分析解答更容易解决问题.

总之，构造函数具有较强的灵活性和创新性，在导数的综合问题中也有着十分广泛的应用.在解决导数问题时，不能局限的直接移项去构造函数，需要仔细观察和分析题目的特点，发现条件中的关系，灵活地去构造符合题目特点又容易解决问题的函数，这样必定事半功倍，最优化地解决问题.