换元法及其在高中数学解题中的应用

赵金荣

学生在做高中数学题时，应将题目中的某个式子看作是一个整体，再用一个未知的变量取代这个式子，进而简化该问题的解题过程，这种解题方法叫作换元法.在高中数学中，较为广泛使用的方法之一即为换元法，学生可以利用换元法将一些复杂的数学题简化，进而较为快捷简便地解出该题目.学生在面对一些较为复杂的题目，选择换元法时，应首先仔细观察并理解该题的意思，在脑海中构思解题思路，思考如何利用换元法解出该题，只有这样，才能充分发挥出换元法的作用.

1.换元法在解方程中的应用

在高中数学之中，方程占据着十分重要的位置，因此，学生在学习高中数学时，应当首先了解并掌握高中数学中的一种最为基本的题型，即解方程.

例1 求解方程x4+2x2+1x+x2+1x2=2的根.

首先变形原方程，可以得到等式：x2+1x2+x2+1x2=2，设m=x2+1x2，可得到等式：m2+m-2=0，该等式的两个解分别为-2，1.

（1）当m=-2时，可得x2+1x2=-2，分式方程转化为x2+2x+1=0，可得x1=x2=-1；

（2）当m=1时，可得x2+1x2=1，分式方程转化为x2-x+1=0，该方程无解.

根据上述例题，我们可以看出，当解一些较为复杂的方程时，应当适当地利用换元法，将高次方程或者分式方程转化为较为简单的低次方程，再进行解答.该题中将复杂的高次方程转化为较为简单的一元二次方程，再解该一元二次方程，这种方法，使得高次方程的难度大大降低，进而简化了解高次方程的步骤，使得做题的效率有所提高.

2.换元法在解决化简问题中的应用

在高中数学题目中，学生经常会遇到化简的问题，一般情况下，学生会利用方程两边扩大相同倍数、两边同时缩小相同倍数、合并同类项或者两边相互抵消等方法进行解题.在面对一些较为简单的化简问题时，可以使用上述方法解题；然而，高中数学的化简题往往比较复杂，只利用上述方法通常不能将化简问题解决.所以，高中教师在课堂上，传授复杂的化简问题如何解决时，应当引导学生利用换元法，将复杂问题简单化，利用新的变量取代复杂的方程，进而使得学生能够更加快捷地进行化简，可以使学生的解题思路更加清晰.

例2 求3-1324-113-1322+1的值.

设m=3-132，m-32=-132，同时平方两边的等式，可得：m2-3m-1=0.于是可得原式=m4-11m2+1=m22-2m2+1-9m2

=m2-12-3m2=m2-1-3mm2-1+3m=0.

所以，可得该式的值为0.

根据上述例题可以知道，解决复杂的化简问题时，选择换元法，将原式中的一部分用新的变量替换掉，进而可以得到新的等量关系，再将该等量关系作为已知条件，代入到原式中进行化简，可以使得复杂的化简问题简单化，可以使学生更加清晰、快捷地将原式进行化简.

3.换元法在解不等式证明中的应用

对于高中学生来说，比较难理解、难掌握的数学题型之一就是不等式的证明题，该类题型是高中学生学习的难点，也是高中数学教育的重点.

例3 已知x-129+y+1216=1，求k在什么取值范围，使得x+y-k>0恒成立？

使x-13=cosβ，y+14=sinβ，可得：x=1+3cosβ，y=-1+sinβ.將x与y的公式分别代入到不等式x+y-k>0之中，可得：3cosβ+4sinβ-k>0.进而可得：3cosβ+4sinβ>k.

又已知3cosβ+4sinβ=5sinβ+θ，故可得5sin（β+θ）>k，又因为|5sin（β+θ）|≤1，故当k<-5时，该等式恒成立.

根据上面的例题可以得出，将不等式中较为复杂的式子替换为较为简单的变量，再将替换的变量代入至已知的不等式中去，可以得到一个新的不等式，再将得出的新的不等式作为已知条件，并利用这个已知条件，来证明题目中原不等式的关系，最终可以证明原不等式成立.利用换元法证明此类不等式，既能够简化证明题复杂的解题过程，还能够使此类不等式证明题的解题思路更加清晰，还能够使高中学生将不等式证明题的切入点准确、快捷地找出，进而使得不等式证明题变得更加简单.

4.换元法在求函数最值问题中的应用

在解决函数最值的问题时，应首先将函数的取值范围求出，再根据函数值与函数自变量的关系，进而解决函数最值的问题.然而，学生在平时的练习或考试时遇到的复杂函数最值问题，使高中学生不能快捷地解决此类问题.所以，当学生遇到函数最值问题时，教师应当及时指引学生利用换元法，对其进行求解，进而使得函数最值问题的难度极大地降低.

例4 已知函数关系式为y=x+1-x2，将该函数的最大值和最小值求出.

根据题中已知关系可知，该函数的定义域为1-x2≥0，进而可以求出该函数的定义域为-1≤x≤1，使sinβ=x，则可得β∈-π2，π2，故可得原函数的关系式：y=sinβ+1-sin2β=2sinβ+π4.

根据该题可得：β+π4∈-π4，3π4，因此，可以求得sinβ+π4的最大值为1，最小值为-22，最大值为1；故y的最小值为-1，最大值为2.

根据上述例题可得，对于较为复杂的数学关系求函数值域的问题，利用换元法可以将该问题简单化，大大降低了函数取值范围的难度，使学生更能自信地面对此类函数定义域与值域的问题.

对于高中数学问题来说，换元法是数学中相当重要的一种解题方法，它可以降低复杂的数学问题的难度，使得学生的做题效率有所增加.在实际的应用过程中，换元法的思想是十分关键的，通过将复杂方程转化为简单的变量，再进行求解，降低了题目的难度，也增强了学生的思维能力，同时增强了学生面对问题的自信心.