学生化归转化思想掌握情况的调研及教学启示

程伟

为了了解中学生对化归转化思想的解题特点，特精心筛选试题并设计了试题卷，要求学生根据自己的思考进行解答，时间不限，所有草稿均写在调查卷.本文从选题缘由、调研目的、解题思路等多方面对调研结果做了细致的阐述，深入地了解了学生对化归转化思想的掌握程度和困难所在，并给出了解题教学中贯穿化归转化思想的教学建议.

1.调研试题

问题1：设函数f（x）=13x3-a+12x2+ax-a，a∈R.若方程f（x）=0有三个不同的实根，求a的取值范围.

思路 方式①：如图，若方程f（x）=0有三个不同的实根，则函数f（x）与x轴有三个不同的交点.所以f（x）的两个极值点必须一正一负.即f（1）·f（a）<0，从而-16a3+12a2-a-a2-16<0，解得-131时，f（a）<0f（1）>0，求出此a范围；当a<1时，f（a）>0f（1）<0，求出此a范围，合在一起得a范围.

问题2：函数f（x）=x2eax，其中a∈R.若过点A（1，0）能作f（x）的三条切线，求实数a的取值范围.

思路 如图，若过点A（1，0）能作f（x）的三条切线，则必有不同的三个切点P，即可得到关于x0的方程有三个解.于是f′（x）=2xeax+ax2eax，设切点为P（x0，f（x0）），则切线l切：y-y0=（2x0+ax20）eax0（x-x0），因为切线过点A（1，0），所以-x20eax0=（2x0+ax20）eax0（1-x0），化简得x0[ax20+（1-a）x0-2]=0，此方程应有三个实数根，所以（1-a）2-8a>0，解得a<-46或a>46.

问题3：假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到，你父亲离开家去工作的时间在早上7：00～8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（记为事件A）的概率是多少？

思路 记报纸送到时间为x，父亲离家时间为y，则6.5≤x≤7.57≤y≤8，于是当x≤y时事件A发生，由右图可知，事件A发生的概率为P（A）=1-12·12·12=78.

2.选题缘由

选择以上三题的目的在于了解学生对化归转化思想的运用情况，以及学生是通过怎样的分析发现和运用化归转化这一解题策略的，更具体地说，具备什么样的思维和知识才能合理有效地进行化归转化，希望由此能得到一些教学上的思考和启发.这里问题1～3的等价转化过程如下：

问题1：f（x）=0有三个实根f（x）与x轴有三个不同的交点 f（1）·f（a）<0；

问题2：f（x）有三条切线有三个切点关于切点横坐标的方程有三个根；

问题3：概率问题线性规划问题.

此三个问题均体现了化归转化思想，问题1主要想考查学生运用零点存在定理结合数学图形进行等价转化的能力；问题2主要想考查学生通过对问题分析概括的能力，从而促进化归转化；问题3主要想考查学生在不同知识领域间的化归转化能力.

3.调研结果

（1）问题1的解答效果很好，主要表现在学生的解题过程基本上呈现了有效的函数图像，结合图像分析后，有了两种思路.有的学生将方程直接等价于极值得出函数值异号，另一种是根据取得极值的自变量a和1比较大小进行分类处理.以上两种处理方式都是化归转化，只是化归的复杂程度不一样，第一种化归处理来得更直接，简单快捷，而第二种化归稍复杂了些.这表明化归转化的好坏取决于高度的分析概括，而后形成模型，应用时则直接转化，此调研成果可对解题教学的设计起到指导作用.

（2）問题2的解答效果不是很好，原因应出于解题者对问题的分析概括程度不够，加之作三条切线的模型可能从未在解题者思维中形成模型，当面临新的问题的时候，经过分析处理没有化归的方向，使得问题的解决效果便不是很好.

（3）问题3的解答效果甚为糟糕，此题还是人教A版必修3课本例题，解决此题有两个难点，一是准确把握决定几何概型基本事件的变量，二是要将概率问题转化为线性规划问题.线性规划解决的是两个变量之间的不等关系问题，于是转化的难点应在于对变量的准确分析，这在几何概型中体现为对基本事件的准确分析上.对几何概型基本事件的准确认识应该是如下的基本过程，多次给出一个具体时间x和y进行探究，在探究中发现决定基本事件的变量有两个，于是问题的基本事件是一对有序数组（x，y），当x≤y时，事件A发生，列出相应不等关系并得到事件A发生的不等关系，然后联想到二元一次不等式组，进而转化为线性规划问题，当然这是建立在解题者具备线性规划问题意识的基础上.

4.教学启示

化归转化需具备两个条件：①解题者具有高度的分析能力和概括能力；②解题者大脑中必须要有很多的问题模型，用于问题的化归转化.所以从教学的角度来讲，我们不仅应注重学生大脑中问题模型的建立，也要注重学生分析问题、概括问题、探究问题的思维能力的培养.