一道2015年高考填空题的多种解法

刘洪臻

2015年湖南省高考文科数学试卷第13题是一道填空题，主要考查直线与圆的关系.在高中数学中，直线与圆的关系在多个内容中有所体现，因此可以有多种解法.题目为13若直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2（r>0）相交于A，B两点，且角AOB=120°，（O为坐标原点），则r=.

方法1利用向量作工具的代数解法.

设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组3x-4y+5=0，x2+y2=r2，消去其中的变量y，可以得到二元二次方程25x2+30x+25-16r2=0.由韦达定理，可得

x1x2=25-16r225=1-1625r2，x1+x2=-65.

代入直线方程，有

y1y2=400-144r2400=1-925r2，

∵OA·OB=OA·OBcos120°=-12r2OA·OB=x1x2+y1y2=2-r2，

-12r2=2-r2，得r=2.

方法2利用极坐标解答ρcosθ=1，A2，3π4，ρ=2cosθ-4sinθ，圆x2+y2=r2（r>0）的极坐标为ρ=r，直线3x-4y+5=0的极坐标方程为3ρcosθ-4ρsinθ+5=0.设圆与直线的交点A（r，θ），Br，θ+2π3（注极坐标）.

∵A，B两点在直线上，

3rcosθ-4rsinθ+5=0，3rcosθ+2π3-4rsinθ+2π3+5=0，（1）

r=-53cosθ-4sinθ=-55sin（A-θ）=1sin（A-θ），

r=-53cosθ+2π3-4sinθ+2π3，（2）

由（1），（2），得

3cosθ-4sinθ=3cosθ+2π3-4sinθ+2π3.

即5sin（a-θ）=5sina-θ-2π3，

A-θ+A-θ-2π3=π，θ=π6+A.

將上式结论代入（1），得r=1sinπ6=2.

方法3数形结合法

图1

如图1，依题意得，△AOB为顶角120°的等腰三角形，切顶点（圆心）到直线3x-4y+5=0的距离为12r，532+42=12r，得r=2.

小结从解法上看来，数形结合法最为简便.但是这种解法综合了三角函数与平面几何的内容，对于相关内容的理解与灵活运用要求更高.