留数定理在欧拉积分计算中的应用

章辉梁

【摘要】留数定理在积分的计算中，一直起着十分重要的作用.本文主要采用留数定理来计算欧拉积分，从而使欧拉积分的计算更加快捷简便，起到化繁为简的作用.

【关键词】留数定理；留数；欧拉积分

一、预备知识

1.留数定理

为复平面上的有界区域，设函数在内除了有孤立的奇点z1，z2，...，zn外，在每一点上面都解析，并且在在L上的每一点都解析上的每一点都解析，因此有∫cf（z）dz=2πi∑nk=1Res（f，zk），这里的沿的积分是由区域P的正向取的.

2.留数计算

首先考虑下一阶极点的情况；设z0为函数h（z）的一个一阶的极点.即，在去掉中心点z0的圆盘内（z≠z0），h（z）=1z-z0ψ（z），其ψ（z）该圆盘内包括在z-z0上解析，它的泰勒展式为：ψ（z）=∑+∞n=0αn（z-z0）n，且α0=ψ（z0）≠0.于是，在函数h（z）的洛朗级数里，1z-z0的系数为ψ（z0）.因此可以得出Res（f，z0）=lim（z-z0）f（z）.

现在采用其他的方法求留数.如果在上面所述的去掉中心z0的圆盘中（z≠z0），，其中P（z）和Q（z）在这个圆盘里面包括在z=z0上解析，P（z0）≠0，z0为函数Q（z）的一阶零点，且Q（z）在该圆盘里面没有其他的零点，那么z0是函数h（z）的一阶的极点，由于

Res（h，z0）=limz→z0（z-z0）h（z）=limz→z0（z-z0）P（z）Q（z）-Q（z0）=P（z0）Q′（z0）.

接着继续考虑高阶极点的情况，设z0为函数h（z）的一个k阶的极点（k>1）.即，在去掉的中心z0的圆盘上（z≠z0），h（z）=φ（z）（z-z0）k，φ（z）在该圆盘上面包括在z≠z0上解析，且φ（z）≠0.在该圆盘上，所以有Res（f，z0）=αz-1，因此可以把问题化成为求φ（z）的泰勒展式系数.否则还需要用另一种方法求留数.在此也可用公式计算Res（h，z0）：Res（h，z0）=1（k-1）！limz→z0dk-1[（z-z0）kh（z）]dzz-1.

二、计算欧拉积分

1.欧拉积分的转化

函数由积分（欧拉）Γ（z）=∫∞0e-ttz-1dt来定义，这里积分沿着正半轴来取.该积分对于在右半平面Rez>0上的所有的点z都是绝对收敛，又e-ttz-1=e-ttx-1，且为一个解析的函数，再进行积分路线的形变.

不放考虑函数F（z）=∫Ce-ζζ-1dζ，在此，可以将积分沿着周线C取值，C为正半轴上的割痕的两岸和圆周ζ=r组成.接着再将ζ-1写出函数e（z-1）lnζ，lnζ为对数上的一个分支，对此分支0

令其割痕上岸为ζ=t，且令其下岸为ζ=te2πi，因此可以将F（z）表示为：

F（z）=∫Ⅰ+∫Cr+∫Ⅱ=（e2πiz-1）∫∞re-ttz-1dt+∫CRe-ζζ-1dζ.

在cr上，有ζ=reiφ，e-ζζ-1=e-rcosφe（x-1）lnr-φy

由此可以推出：∫Cr0，而当r→0时∫Cr→0.由此可得当Rez>0时，可以取r→0时的极限.

根据定义可以得到：

F（z）=（e2πiz-1）∫∞0e-ttz-1dt=（e2πiz-1）Γ（z）（当Rez≤0时，该极限过程是不合法的）.这样，可以得到函数：

Γ（z）=1e2πiz-1∫Ce-ζζz-1dζ.

2.欧拉积分的计算举例

例1计算I=∫+∞0xα-1（1+x）dx，其中0<α<1

解

考虑函数f（z）=zα-11+z，该函数为多值函数，其支点是0和∞，它由0沿着正实轴方向到∞点割破的z平面上的可以分成单值的分支，再选取由支割线上岸AB：z=x（r≤x≤R）.

經过圆弧CR：z=Reiθ（0≤θ≤2π），沿着支割线下岸A′B′：z=xe2πi的反方向，再经过圆弧Cr：z=reiθ（0≤θ≤2π）的反向回到A的积分路径C围成的区域内只有一个一阶极点z=-1，Resz=-1f（z）=-eαπi.

由留数定理得

结论

在计算欧拉积分的过程中，欧拉积分的一致收敛问题可能经常要被检验，还有时可能需要引入参数变量、要将欧拉积分在积分号下进行求导等等.用这些方法计算过程显得十分繁琐.因此本文引进留数定理，用留数定理来计算欧拉积分.这样能够大大简化我们的计算.