二阶变系数线性微分方程求解法探究

李雷民

【摘要】二阶线性齐次微分方程是微分理论的重要组成部分，在现代科技、工程等领域中都有广泛应用，这其中很多的应用情况都归属于二阶线性常微分方程的范畴中.在微分理论中常系数微分方程可以利用线性常微分的理论求解，但变系数类型的求解则相对较难，至今都很难找到有效的求解方法.本文以二阶边系数线性微分方程的求解意义作为出发点，对一般与特殊的二阶变系数线性微分方程的解法进行探讨，希望能为相关研究人员提供些许参考作用.

【关键词】二阶变系数线性微分方程；二阶线性常系数微分方程；通解；特解

一、二阶变系数线性微分方程的求解法

现行的高数微分方程理论中，仅仅对常系数类型的微分方程展开研究，即使是在《常微分方程》中也没有对二阶变系数这一类型的微分方程求解进行深入探讨.

如果p（x），q（x）是连续非常数函数，那么方程y″+p（x）y′+q（x）y=f（x）（1）

即为二阶变系数线性微分方程，若f（x）为0，那么即为二阶变系数齐次线性类型方程，如果不为0，那么就是非齐性的二阶变系数微分方程.本文提出从二阶变系数方程的特征出发，以降阶法将二阶转嫁为一阶，利用结构系数函数对二阶边系数线性微分方程的通解及特解进行求解的一种解法.

假設非齐次中的P（x）有一阶连续倒数q（x）连续，那么就能通过方程（2）、（3）使方程（1）转变为方程（4）.

四、结束语

本文分析的二阶变系数线性微分方程的解法主要是通过降阶的方式，将二阶变系数线性方砖转嫁为一阶线性微分方程进行求解，这样一来只需利用结构系数函数就可以对二阶边系数线性微分方程的特解或通解进行求得，借助结构系数函数，再利用降价法就是得出二阶边系数方程的特解或是通解.

【参考文献】

[1]李高，李殊璇，常秀芳.二阶变系数线性微分方程可解的研究[J].河北北方学院学报（自然科学版），2013，02：1-2+21.

[2]张虹，敏志奇.二阶变系数线性微分方程与其对应的Riccati方程可积的等价性及应用[J].甘肃联合大学学报（自然科学版），2011，03：22-23+39.