波动方程柯西问题的解法研究

付红斐

【摘要】波动方程柯西问题通常可以用行波法或积分变换法等求解.本文通过一个实例探讨基于行波法、积分变换法和混合积分变换法的多种解法.对于指导《数学物理方程》类课程多思维教学模式、激发学生综合思考问题的能力具有重要的现实意义.

【关键词】波动方程；混合积分变换法；行波法；积分变换法

【中图分类号】O175.2【文献标识码】A

本项目得到中国石油大学青年教师教改项目（QN201304）和研究生学位点建设项目（XWS13012）的资助.

在科学与工程技术的实际问题中，经常会遇到大量的偏微分方程，如描述电磁场中电场和磁场强度的麦克斯韦方程等.有效的求解方法对于研究这类偏微分方程所体现的科学意义具有重要的理论和实际作用.在《数学物理方程》类课程教学中，通常我们会介绍四种经典的求解方法，即分离变量法、行波法、积分变换法和格林函数法等.事实上，在某些情形下这些方法可加以综合运用.下面以一阶波动方程为例加以说明.

例utt=uxx+tsinx（x∈R，t>0），u|t=0=0（x∈R），ut|t=0=sinx（x∈R）.

解法1基尔霍夫公式

u（x，t）=12∫x+tx-tsinξdξ+12∫t0dτ∫x+t-τx-t+ττsinξdξ=tsinx.

解法2傅氏积分变换法

首先，方程及初始条件两端分别关于空间变量x取傅氏变换，并注意到

[sinx]=iπ[δ（w+1）-δ（w-1）]，

可得

d2Udt2（ω，t）+ω2U（ω，t）=iπ[δ（w+1）-δ（w-1）]t，

U|t=0=0，Ut|t=0=iπ[δ（w+1）-δ（w-1）].

接下来，求解上述二阶常系数常微分方程得

U（ω，t）=iπ[δ（w+1）-δ（w-1）]ω2·t+ωsinωt-sinωtω.

最后，上式关于w取傅氏逆变换，由定义及δ函数性质，得u（x，t）=12π∫+∞-∞U（ω，p）eiωxdω=tsinx.

解法3拉氏积分变换法

首先，方程两端关于时间变量t取拉氏变换，并考虑初始条件及[t]=1p2，得

d2Udx2-p2U=-1+1p2sinx.

接下来，由特征方程法求解上述二阶常微分方程，得

U（x，p）=C1epx+C2e-px+sinxp2.

注意到弦上各点的位移有界，特别是无穷远处.从而必然有C1=C2=0，即U（x，p）=sinxp2.

最后，上式中關于p取拉氏逆变换，得

u（x，t）=-1sinxp2=tsinx.

解法4混合积分变换法

第一步，首先方程两端关于时间变量t取拉氏变换，并考虑初始条件，得

p2U（x，p）-sinx=d2Udx2（x，p）+sinxp2.

其次，上式进一步关于空间变量x取傅氏变换，可得

p2U（ω，p）-iπ[δ（w+1）-δ（w-1）]=-ω2U（ω，p）+iπp2[δ（w+1）-δ（w-1）].

第二步，整理上式求，得

U（ω，p）=p2+1p2（p2+ω2）·iπ[δ（w+1）-δ（w-1）].

第三步，首先关于上式中w取傅氏逆变换，由定义及δ函数性质，得

U（x，p）=12π∫+∞-∞U（ω，p）eiωxdω=sinxp2.

其次，上式进一步关于p取拉氏逆变换，得

u（x，t）=sinx·-11p2=tsinx.

注1混合积分变换法的基本思想是先关于某一自变量进行一次拉氏积分变换，将含两个变量的偏微分方程转化为含一个参量的常微分方程，然后再关于另一变量取傅氏积分变换，得到易于求解的含两个参量的代数方程，最后再依次取相应的逆变换，即可求得原问题的解.

注2上述求解过程给我们展示了如何综合运用多种方法求解定解问题，但读者不能盲目的任意叠加这些方法.在求解之前，一定要分析清楚所给问题的条件到底适合哪些方法.

【参考文献】

[1]王元明.数学物理方程与特殊函数[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]梁昆淼.数学物理方法[M].第3版.北京：高等教育出版社，1998.

[3]谷超豪，李大潜.数学物理方程[M].北京：高等教育出版社，2002.