圆锥曲线的切线判别式

陈万兴 张治中

【摘要】在各种版本的教材中，对直线与圆锥曲线一节中“若Δ=0，则直线与曲线相切”只是理论上的指向，代数形式的中间成果，不能明显简捷地表达相关要素之间的数量关系.给出了具体条件下的切线判别式的数量形式，简化了相切中的复杂的代数运算.

【关键词】切线判别式；代数运算；内含

一、从椭圆的弦长的视角中提炼现判别式

（一）设直线l：y=kx+s.椭圆C：b2x2+a2y2=a2b2交于A（x1，y1），B（x

（二）直线与抛物线相切的判别式

当|AB|→0，抛物线的弦所在的直线就成了切线，在⑶式中，2k2m+p=0直线与抛物线相切.判别式（k存在）把直线与抛物线位置关系的数量化.同时，存在两个交点与相离的量化判别式为：2k2m+p>0直线与抛物线有两个交点；2k2m+p<0直线与抛物线相离.

例3（选修教材数学2—1B版2.5直线与圆锥曲线一节中的例2）：已知点A（0，2）和抛物线C：y2=6x，求过点A且与抛物线C相切的直线l的方程.

解当kl不存在时，l：x=0；

当kl存在时，y=kx+2=kx--2k，（m=-2k）；p=3

由：2k2m+p=0，3+2k2·-2k=0k=34；l：y=34x+2.

把Δ=0量化p，m，k的三者关系，省略了中间计算环节，解题变得适用、简单.

四、判别式的多方面的内含

（一）可建构新的曲线方程对椭圆和双曲线，直接体现的四个量的平方关系.在椭圆中，当k，s已知时，a，b满足在椭圆上；在双曲线中，当k，s已知时，a，b满足在在双曲线上.借圆锥曲线的性质，有利于对动态曲线的研究.对于抛物线的切线判别式2k2m+p=0，m为常数k，p满足在抛物线上，k为常数，m，p满足在直线上.这对研究圆锥曲线性质，辟开了新的向度，对圆锥曲线的性质加深了认识.

例4设l：y=-22x+2与椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）相切.

（1）求a的取值范围.（2）若椭圆的离心率为12，求：a，b.

解（1）y=kx+s（k=-22，s=2）

l∩C：（b2+a2k2）x2+2a2ksx+a2s2-a2b2=0，令Δ=0-s2+b2+a2k2=0

把k=-22，s=2代入得，-4+b2+12a2=0a28+b24=1.

a，b满足方程x28+y24=1，当y→0时，x28<1.-22

①又a椭圆的轴，0

②a=b时，是直线l与圆C相切，得a的最小临界值，amin=2.2≤a<22.

（2）e2=1-b2a2a2=2b2，又-4+b2+12a2=0.b=2，a=2.

在多元变在量的条件下，切线判别式，圆锥曲线的性质为进一步研究圆锥曲线数量及位置关系提供了平台.

（二）切线判别式可解决一般条件下的问题，对于过平面内任意一点，与曲线相切，都可以转化到相应的直线形式中，缩短了结论与题设的距离，简化了大量的运算.

例5（2014广东理科20题），已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一个焦点为P，离心率为53.（1）求椭圆的标准方程.（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.

解（1）略.（2）當切线与轴平行或垂直时，P（±3，±2）.

设切线l：y=kx+s（s=y0-kx0）.

l∩C：（b2+a2k2）x2+2a2ksx+a2s2-a2b2=0，令Δ=0-s2+b2+a2k2=0.

s=y0-kx0，a2=9，b2=4代入，关于k方程：

（x20-9）k2-2x0y0k+y20-4=0.

又k1·k2=-1=y20-4x20-9x20+y20=13.

又P（±3，±2）∈x20+y20=13.P的方程：x20+y20=13.

把过平面内一点的直线，转化y=kx+s形式，使解题自动化化.-s2+b2+a2k2=0，是解题制胜的关键环节.体现了数学的通性，是驾驭与切线有关的代数运算的法宝.

切线判别式，对简化运算起到的一定的作用，把理论指向构筑了现实的技能平台，有益于提升计算能力.